一睹数学最美公式的风采：欧拉公式的视觉之旅

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数学中有一个非常美丽的思想：我们平时研究的很多方程和图形，其实只是更高维度、更优雅、更强大的数学的投影。而这个更高维度的数学，与虚数 i （也就是 -1 的平方根）密切相关。把类似于 x²+1 这样的多项式扩展到包含虚数的部分相对比较容易，但对于指数函数和对数函数这一对函数来说，虚数的应用就远没那么清晰了。2 的 3 次方意味着 2 自身相乘 3 次，

但 2 的 (-1 的平方根) 次方究竟是什么意思呢？在 18 世纪初，关于这个问题的争论一度威胁到数学分析的根基，直到莱昂哈德·欧拉提出一个如此令人惊叹又优雅的解决方案，以至于它常常被称为数学中最美的公式。

1712 年 3 月 16 日，微积分的共同创始人之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨给数学家约翰·伯努利写了一封信，信中他声称负数无法求对数。莱布尼茨在后来写给伯努利的信中进一步解释说，对数只是另一种书写指数的方式，它对负数并不适用。以 2 为底 8 的对数是 3，因为 2 的 3 次方是 8。以 2 为底 1 的对数是 0，因为 2 的 0 次方是 1。

之所以 2 的 0 次方是 1 而不是 0 或者其他数，是因为这个定义保留了指数和对数的一个重要性质：当我们用相同的底数将两个幂相乘时，它们的指数会相加。2 的平方乘以 2 的立方，最终相当于 2 进行了 5 次乘法，也就是 2 的 5 次方。将 2 的 0 次方定义为 1 就保留了这个性质。只有当我们将 2 的 0 次方定义为 1 时，2 的 (3+0) 次方才等于 2 的 3 次方乘以 2 的 0 次方。

正如我们将会看到的，找到一种数学上统一的方法来处理各种数字的对数和幂，对于理解欧拉的方法至关重要。为 0 到 1 之间的分数的对数找到一个合理的定义也相对简单。同底的指数项相除相当于将其指数相减，2 的立方除以 2 的平方等于 2 的 (3-2) 次方。这意味着 2 的 -2 次方本身必须等于 1 除以 2 的平方。

这就是我们如何得到分数的对数的。以 2 为底 1/4 的对数等于 -2，因为 2 的 -2 次方是 1/4。需要注意的是，我们已经不再使用整数指数的简单定义了——在那个定义中，n 次方意味着一个数自身相乘 n 次。这个定义对负指数并不适用。但是，我们对分数指数的定义很好地保留了我们之前提到的性质。

当我们绘制以 2 为底的对数的值时，无论是大于 1 的数，1 本身，还是分数，我们都得到了一条漂亮的连续曲线。现在，当我们最终遇到负数的对数时，正如莱布尼茨所说，我们似乎走到了死胡同。2 的多少次方才能得到 -1 呢？显然，正数、0 和负数都不行。在几周后的回复中，伯努利断然否定了莱布尼茨的说法。

伯努利认为，由于 log(x) 和 log(-x) 的导数都是 1/x，所以 log(x) 和 log(-x) 相等。这意味着对数函数并非只有一条曲线，实际上它有一个正分支和一个负分支，这两个分支关于 y 轴对称。并且 -1 的对数就等于 1 的对数，也就是 0。莱布尼茨并不信服，两位数学家来来回回争论了一年多，也没有取得任何实质性的进展。几十年后，伯努利的学生莱昂哈德·欧拉重新开始研究这个悬而未决的问题时，他写道，如果找不到一个合理的解释，将是数学分析的巨大遗憾。

当时，微积分和数学分析才发展了 50 到 60 年，为了处理其中涉及的无穷大和无穷小的量，人们不得不采用一些不甚严谨的近似方法。欧拉推测，其他数学家也遇到了与对数相同的难题，但由于害怕在没有解决方案的情况下破坏这个新兴的数学分支，而没有公开发表他们的研究成果。在 1747 年发表的一篇长达 13 页的论文中，欧拉指出了伯努利和莱布尼茨的解决方案中存在的逻辑错误，并提出了一个极其优雅的解决方案，这个方案至今仍然在使用。首先，欧拉推翻了他的老师伯努利的理论，即 log(x) 等于 log(-x)。欧拉认为，仅仅因为 log(x) 和 log(-x) 的导数相同，并不意味着这两个函数本身就相等。

同样的错误逻辑也可以用来证明 log(2x) 等于 log(x)，但这显然是错误的。接下来，欧拉引用了伯努利自己提出的一个例子，以证明莱布尼茨的部分正确性。1702 年，伯努利在研究圆扇形的面积时，遇到了一个难以解决的积分问题，这个积分计算扇形面积与扇形顶点坐标 (x, y) 的关系。伯努利意识到，如果他能够从表达式中提取出一个 -1 的平方根，他就能解决这个积分。最终他得到了一个相当复杂的关于扇形面积的表达式，其中包含了 i 和一个对数。

欧拉证明，如果选择点 (x, y) 为 (0, 1)，伯努利的公式就会简化为 -1 的对数除以 4i。欧拉认为，由于扇形的面积显然是一个实数，分母中的 i 必须与分子中的 i 相抵消，这意味着 -1 的对数必须是虚数。然而，仅仅宣称负数的对数是虚数并不能解决问题。正如欧拉继续证明的那样，这会导致一系列新的矛盾。对数的一个关键性质是，将对数的自变量提升到一个幂，相当于将对数乘以这个幂。

2 的立方的对数等于 3 乘以 2 的对数。既然已经确定 -1 的对数是虚数，我们可以将它写成 b 乘以 i，其中 b 是 i 的某个实数倍数。然后欧拉考虑了将对数中的 -1 提升到 2 次方的情况。根据我们之前提到的性质，这应该等于 2 乘以 -1 的对数，或者 2bi。然而，由于 -1 的平方就是 1，而 1 的对数是 0，所以 -1 的平方的对数也应该是 0，这与我们刚才证明的结果矛盾。

欧拉被难住了。他深刻地意识到微积分的基础岌岌可危，他写道，他被这些困难所困扰，很长一段时间以来，似乎都无法找到真相。最终，欧拉找到了一条前进的道路。如果两个答案，0 和 2bi，都是正确的呢？如果对数不是只有一个解，而是很多，甚至是无限多个解呢？

为了理解这如何可能，我们需要回到我们最初考虑的问题：将一个数提升到 -1 的平方根次方究竟意味着什么？尽管欧拉对这个问题的解决方案非常优雅，但他找到答案的过程却并非一帆风顺。欧拉非常相信他的符号，并且非常擅长用创造性的方法来处理方程式。由于欧拉独特的数学风格以及当时数学界对虚数的普遍怀疑，尽管欧拉在 1747 年提出的解决方案以现代标准来看基本正确，但它直到 50 多年后，欧拉去世之后才被广泛接受。

更广泛接受欧拉解决方案的一个关键因素是发展了更直观地理解虚数的方法。让我们使用这种更直观的方法来理解欧拉的答案，并看看他是如何拯救微积分的。虚数通常是作为复数的一部分出现的，复数包含实部和虚部，通常写成 a+bi 的形式。我们可以将复数可视化为复平面上的点，其中横轴是实轴，纵轴是虚轴。我们可以使用分配律将复数相乘，两个复数的乘积通常也是一个复数。

一个值得注意的例外是当我们将一个复数乘以它的共轭复数时。共轭复数指的是将虚部符号取反。当我们计算这种情况下的乘法时，虚部会相互抵消。将结果开平方根，就得到了这个复数在复平面上到原点的距离，也称为这个复数的模或者说绝对值。最后，有时用极坐标形式来表示复数会非常方便，在这种形式下，我们不直接给出实部和虚部，而是给出模和与 x 轴正方向的夹角。

用极坐标形式进行复数乘法特别有用，因为所有分配律的代数运算最终都等价于将两个复数的模相乘，并将它们的夹角相加。所以当我们将两个复数相乘时，它们的模会相乘，它们的夹角会相加。现在回到我们最初的问题：将一个数提升到虚数幂究竟意味着什么？让我们考虑 2 的 bi 次方，其中 b 是一个实数。我们可以尝试的一个简单操作是将这个表达式乘以它的共轭复数，也就是 2 的 -bi 次方，这应该可以得到 2 的 bi 次方到原点的距离的平方。根据指数的加法性质，指数会相互抵消，我们最终得到 2 的 0 次方，也就是 1。

这是一个非常重要的结果。由于我们的结果是一个不依赖于 b 的常数，这意味着 2 的 bi 次方到原点的距离或模是一个常数。所以 2 的 bi 次方必须落在半径为 1 的圆上的某个地方。也许最令人惊讶的是，与实数指数的函数随着自变量的增加而不断增长不同，虚数指数的函数永远被限制在单位圆上。正如我们将会看到的，这与欧拉关于对数有无限多个解的断言密切相关。

现在，问题的关键是：2 的 bi 次方究竟落在单位圆上的哪个位置？我们已经知道它的模是 1，但它的夹角是多少呢？更准确地说，我们想知道 2 的 bi 次方等于单位圆上的哪个点。假设这个点对应的夹角是 θ，那么我们可以将它写成一个复数，实部为 cos(θ)，虚部为 sin(θ)。

现在，我们能否找到 b 和 θ 之间的关系呢？如果我们令 b 等于 1，θ 会是多少呢？如果我们能解决这个问题，我们就能彻底解决我们最初的问题。为了找到答案，我们需要更深入地理解指数函数的本质。正如我们所看到的，理解整数指数相对容易，无论这些指数是正数、0 还是负数。

但是分数指数或者小数指数呢？简单的分数指数，比如 x 的 1/2 次方，很容易理解。通过保持幂的幂次相乘的性质，我们可以证明 x 的 1/2 次方等价于 x 的平方根。但是更复杂的幂次，比如 x 的 0.587 次方呢？当然，你可以把它输入计算器，但计算器是如何计算的呢？第一个真正解决这个问题的人是亨利·布里格斯，他在 1617 年创建了他那影响深远的基于对数的表格。布里格斯发现了一种巧妙的计算方法，其核心思想是不断放大指数曲线，直到它看起来像一条直线。例如，从 x 值为 1 开始，我们可以通过将 x 除以 2 并计算相应的 y 值来放大曲线。在这种情况下，2 的 1/2 次方等于 2 的平方根，大约是 1.414。

再次重复这个操作以进一步放大，我们得到 x 等于 1/4，y 等于 2 的平方根的平方根，也就是 2 的四次方根，大约是 1.189。布里格斯惊人地进行了 54 次连续开平方根运算，精确到小数点后 33 位，最终到达了一个非常小的邻域，在这个邻域内，2 的 x 次方非常接近 1+αx。这是一个线性函数的表达式，斜率为 α。布里格斯使用了略微不同的公式，但在我们的例子中，斜率 α 大约是 0.693。

所以当 x 非常接近 0 时，2 的 x 次方非常接近 1+0.693x。我们现在可以利用这个结论，就像布里格斯那样，来解决任意对数或指数问题，比如 2 的 0.587 次方。将 x 的初始值设为 0.587，我们首先将其映射到我们之前提到的那个小邻域，方法是像布里格斯那样连续除以 2，或者一步到位。例如，为了将 x 缩小 1000 倍，我们可以将 0.587 除以 1000，得到 0.000587。

假设我们已经到达了那个小邻域，我们现在可以使用我们简单的线性公式来计算 2 的 0.000587 次方。1+0.693 乘以 0.000587 等于 1.000。现在我们已经知道了 2 的 0.000587 次方，我们可以将其放大 1000 倍，得到我们最终的答案，大约是 1.5019。将这个问题输入现代计算器，得到的答案更接近 1.502。这是因为缩小 1000 倍并不能真正到达那个小邻域。

如果我们改为缩小 倍，我们的答案将精确到小数点后 6 位。我们可以将我们刚才所做的事情总结成一个方程式：2 的 x 次方大约等于 (1+0.693x/n) 的 n 次方，其中 n 是我们缩小的倍数。n 越大，我们的答案就越精确。从微积分的角度来看，2 的 x 次方精确地等于 n 趋于无穷大时，这个表达式的极限。

但这仍然不完全正确，因为我们将直线的斜率 α 四舍五入到了 0.693。通常的处理方法是通过改变底数，使斜率项等于 1。如果我们定义一个新的变量 z，令 x 等于 z/0.693 并代入，我们会在右边得到一个更简单的表达式，在左边得到一个新的底数，2 的 1/0.693 次方。给定 α 的更多小数位，我们的新底数计算结果为 2.71828，也就是数学常数 e。综上所述，我们得到了一个通常被用作指数函数定义的方程式：

e 的 z 次方等于 n 趋于无穷大时，(1+z/n) 的 n 次方的极限。这个方程式优雅地描述了亨利·布里格斯为计算小数和分数的指数和对数而开发的放大、线性化和缩小的过程。现在我们对指数函数的本质有了更深入的了解，我们终于准备好解决虚数指数的问题了。接下来，我们的核心任务是弄清楚布里格斯对指数的无限放大定义是否适用于虚数。如果适用，那么一个数的特定虚数幂究竟会落在单位圆上的哪个位置呢？

那么，如果我们将 -1 的平方根，也就是虚数单位 i，代入布里格斯的方程式会发生什么呢？即使布里格斯的方程式是基于实数推导出来的，我们也能相信结果吗？这一切在几何上意味着什么呢？让我们将 z 设为 i，并暂时忽略极限，使用一个较小的 n 值，比如 6。这会降低我们结果的精度，但不会影响我们理解问题的本质。

所以我们有 e 的 i 次方大约等于 (1+i/6) 的 6 次方。1+i/6 并不难理解，它只是一个实部为 1，虚部为 1/6 的复数。布里格斯的公式告诉我们，需要将这个复数自身相乘 6 次。进行第一次乘法，我们得到 35/36+i/3。

在接下来的乘法运算中，使用复数的极坐标形式会更加方便。我们可以将 1+i/6 写成模为 1.014，夹角为 9.46 度的复数。由于用极坐标形式进行复数乘法只需要将模相乘并将夹角相加，我们可以直接将 1.014 的 6 次方和 9.46 度乘以 6，得到最终的模为 1.086，夹角为 56.774 度。需要注意的是，我们的答案并没有精确地落在单位圆上，这是因为我们使用了较小的 n 值。如果我们将 n 增加到 1000，我们的答案就会更接近单位圆。

那么，这个结果是正确的吗？它是否与我们之前讨论的所有指数和对数的性质相符呢？它能否帮助我们找到之前推导出的单位圆方程中 b 和 θ 之间的关系呢？为了更好地与布里格斯的方程进行比较，让我们用底数 e 来改写这个方程。由于 b 是一个任意常数，我们可以引入一个新的变量 c，令 b 等于 c/0.693，就像我们之前对布里格斯的方程所做的那样。

将 b 替换为 c/0.693，我们可以将方程改写为 e 的 ci 次方等于 cos(θ)+i sin(θ)。现在，我们的目标是找到 c 和 θ 之间的关系。当我们将 i 代入布里格斯的方程，并使用 n 等于 1000 时，我们得到一个模为 1.0005，夹角为 57.296 度的复数。当 c 等于 1 时，这个夹角应该等于我们 cos(θ)+i sin(θ) 方程中的 θ 值。所以当 c 等于 1 时，θ 大约等于 57.296 度。

让我们将更多 c 值代入布里格斯的方程，看看 θ 是如何变化的。将 c 的值从 0 到 5 代入，我们发现 θ 呈现出一个规律：每当 c 增加 1，θ 就会增加大约 57.296 度。这意味着，如果我们将 e 提升到 i、2i、3i 等虚数幂，我们的答案就会在单位圆上以大约 57.296 度的步长移动。如果我们用弧度而不是度数来表示 θ，我们会发现一个更令人惊叹的规律。c 每增加 1，θ 就会增加 π/180，也就是 1 弧度。

如果我们用弧度来表示 θ，我们之前称为 c 的值就恰好等于 θ。最终，我们得出了著名的欧拉公式：e 的 iθ 次方等于 cos(θ)+i sin(θ)。在我们庆祝之前，我们需要验证当输入是虚数时，布里格斯的公式是否仍然有效。毕竟，布里格斯是在研究实数的指数曲线时，才得出了他的公式。

当我们使用 n 等于 6 将 i 代入布里格斯的公式时，我们发现这在几何上相当于将 6 个细长的三角形堆叠在一起，形成一个完整的角度。每个三角形的夹角为 9.46 度。当我们将这个复数自身相乘 6 次时，这些夹角会累加起来，最终形成大约 57 度或者 1 弧度的夹角。随着 n 的增加，我们会得到更多更细长的三角形，以及更精确的 e 的 i 次方的估计值。让我们仔细观察第一个细长三角形。例如，如果 n 等于 100，那么这个三角形的底边等于 1，也就是 1+i/100 的实部。

这个三角形的高度等于虚部，也就是 1/100。现在，有趣的地方在于这个细长三角形的小角度（我们称之为 δ）和三角形高度之间的关系。根据三角学，我们知道 tan(δ) 等于三角形的高度除以底边，也就是 1/100 除以 1。与指数函数类似，如果我们放大正切函数，它在 0 附近的极小邻域内也会看起来像一条直线。

在接近 0 的邻域内，正切函数的斜率恰好等于 1。所以对于很小的 δ 值，tan(δ) 就等于 δ。对于我们的细长三角形来说，这意味着当 n 趋于无穷大时，三角形的高度就等于角度 δ（以弧度表示）。现在，让我们将所有这些信息整合起来。对于虚数指数 ci，布里格斯的公式告诉我们，需要将 c 除以 n。这相当于构建了一个高度为 c/n 的细长三角形。当 n 足够大时，这个三角形的夹角就等于 c/n 弧度。

布里格斯的公式要求我们将这个三角形自身相乘 n 次，根据复数的极坐标形式，这意味着我们将夹角 δ 累加 n 次，最终得到的夹角为 c/n 乘以 n，也就是 c。这就是为什么 c 等于最终夹角 θ（以弧度表示）的原因。正如布里格斯的公式将实数指数的指数曲线线性化一样，它也能以类似的方式将虚数指数的指数曲线线性化。在虚数情况下，这个过程发生在复平面的二维空间中，它之所以有效，是因为我们可以将非常小三角形的正切函数线性化，并且将所有这些小复数相乘会导致在复平面上的旋转，最终我们得到的是旋转而不是增长。

现在我们已经理解了欧拉公式，我们终于可以明白他是如何拯救微积分的了。我们之前讨论到，欧拉认为莱布尼茨和伯努利都错了，-1 的对数有多个解。如果我们对欧拉公式两边取自然对数，我们会得到 iθ 等于 ln(cos(θ)+i sin(θ))。欧拉关注的是对数的自变量为 -1 的情况。

当 cos(θ) 等于 -1，sin(θ) 等于 0 时，就会出现这种情况，这对应着复平面上的点 (-1, 0)，也就是单位圆上的一个点。θ 等于 π 弧度可以满足这个条件，-π、3π、-3π 等等也都可以。所以 -1 的对数等于 πi 的所有奇数倍。这就是欧拉所说的对数有无限多个解的含义。欧拉关于 -1 的平方对数的悖论现在有了一个简单的解释。

如果我们将 2 从指数上移下来，这意味着将 -1 的对数的所有解乘以 2，得到 -6πi、-2πi、2πi 等等。之前，当我们先计算 -1 的平方而不是将 2 移下来时，就出现了矛盾。这相当于计算 1 的对数。根据欧拉公式，当 cos(θ) 等于 1，sin(θ) 等于 0 时，就会出现 1 的对数。

这对应着夹角为 0、2π、-2π 等等的情况。正如欧拉在他的论文中指出的那样，2 乘以 -1 的对数的解显然包含在 1 的对数的解中。这个事实，以及其他一些重要的结论，使欧拉确信，以这种方式定义对数和指数可以挽救微积分的基础。欧拉的方法在当时引起了很大的争议，但最终被人们所接受。就我个人而言，我认为欧拉公式和他的对数理论引起争议并不奇怪。

仅仅从欧拉公式本身来看，它就非常不可思议。在等号的右边，我们有三角函数中的余弦和正弦波。在等号的左边，我们有 e 的幂，这通常意味着指数增长。这里的关键在于虚数单位 i，它神奇地将指数增长变成了周期性的波动。我们最初的讨论基于这样一个思想：我们平时研究的很多方程和图形，其实只是更高维度、更优雅、更强大的数学的投影。

指数函数和三角函数之间的深刻联系，可能是数学中最令人惊叹的例子。如果我们取一个类似于 x²+1 这样的多项式函数，将其输入和输出扩展到复数，并将函数的其中一个虚部可视化为实平面之上表面的高度，我们会得到一些形状奇特的抛物面。这很神奇，但也许是抛物线在复数域上的自然延伸。但是，当我们取实数的指数增长函数，并使用欧拉公式将其输入和输出扩展到复数时，我们得到的表面形状竟然与正弦和余弦波完全相同。这个表面在一个方向上的投影是我们熟悉的指数曲线，在另一个方向上的投影则是余弦和正弦波。

这种结构并非人为发明，它是由我们熟悉的代数规则在虚数域上的自然结果。所有这些数学元素以一种我们难以想象的方式完美地结合在一起，使欧拉公式成为了数学中最美的公式，甚至被誉为“上帝公式”。