多阶等差数列及其通项公式求法

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一、定义：

多阶等差数列也叫高阶等差数列：将一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再将这个新数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。

经过n次相减最终成为常数数列的，就称原数列为n阶等差数列；所以,普通等差数列也可以称为1阶等差数列，常数数列称为0阶等差数列。

二、举例：

数列：1 4 7 10 13 ……，经过1次相减得到：3 3 3 3 3……已经成为常数数列，所以原数列是1阶等差数列，其公差为3，通项公式为：an=3n-2.

数列：1 3 6 10 15 21……，其项差依次为：2 3 4 5 6 7……，再求项差为：1 1 1 1 1……，总共经过2次相减成为常数数列，所以它属于2阶等差数列，其通项公式为：an=1/2*(n^2+n)=1/2*n^2+1/2*n.

数列：1 4 10 20 35 56 84……，其项差为：3 6 10 15 21 28……，再求项差为：3 4 5 6 7……，再求项差为：1 1 1 1……，总共减了3次成为常数数列，因此它属于3阶等差数列，通项公式为：an=1/6*(n^3+3n^2+2n)=1/6n^3+1/2n^2+1/3n；

数列：6 24 60 120 210 336 504……其项差依次为：18 36 60 90 126 168……，再求项差为：18 24 30 36 42……，再求项差为：6 6 6 6……，总共减了3次成为常数数列，因此它也属于3阶等差数列，其通项公式为：an=n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n.

三、求通项公式：

1. 1阶等差数列的通项公式是一个关于自然数 n的1次多项式；2阶等差数列的通项公式是一个关于自然数 n的2次多项式；……n阶等差数列的通项公式是一个关于自然数 n的n次多项式。

2.如果知道一个n阶等差数列的前n项为：a1 a2 a3……an，就可以列一个关于自然数 n的1元n-1次方程组:

X1+X2+X3+……+X(n-1)+Xn=b1

2^(n-1)*X1+2^(n-2)*X2+2^(n-3)*X3……+2*X(n-1)+Xn=b2

3^(n-1)*X1+3^(n-2)*X2+3^(n-3)*X3……+3*X(n-1)+Xn=b3

…… …… ……

n^(n-1)*X1+n^(n-2)*X2+n^(n-3)*X3……+n*X(n-1)+Xn=bn

通过解上面的方程组求出未知数x1 x2 x3……xn的值，就可得到它的通项公式：an=X1*n^(n-1)+X2*n^(n-2)+……+X(n-1)*n+Xn.

因此，多阶等差数列的通项公式都是一个关于自然数 n的多项式，故也可称其为多项式数列。