关于高中数学函数单调区间取不取端点的大讨论

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“数学解题研究”

任立勇：一般单调区间写不写两个端点？

周廷银：有定义可开可闭。

王芝平：能闭不开。

史嘉：是的，能闭不开。或者干脆一开到底。

陈雪松：还是能闭不开，在求参数范围表现尤为突出。

王芝平：闭的好处显而易见。闭区间上的连续函数的性质在开区间上是不一定具备的。

史嘉：开闭的区别不言而喻。任老师问单调区间的，如果仅仅是回答单调区间，我认为无论开闭与否，最终写出开是没有问题的。请讨论！

王芝平：对一个问题的考虑还是应该放在一个更大范围之内思考。求单调区间干什么呢？

史嘉：请教：若是填空题，求单调区间。答案是闭的，如果学生写出开的，给分吗？不知高考是否遇到过。

斌哥：不扣分。

小didi:我觉得是对的，单调区间与端点无关。所以我觉得写开区间必定是对的，从学生角度来说写开区间会更不易错。

史嘉：正是因为个别学生懒，或者分不清，有老师干脆要求全用开，当然仅仅是回答单调区间。类似的是（具有相同单调性的）单调区间之间能否用∪，何必让学生辛苦区分，都有和就是。当然要讲清楚，何时可用何时不能用。以后都不用。

”激活数学课堂教学研究群“

王方汉（大罕）：

函数的单调区间含不含端点值？

在高中数学内，有几种处理方法：

①端点处有定义，则包括端点。

例如函数y=-(x-1)^2的增区间是(-∞,1]，减区间是[1,+∞)；

②端点处有定义，为避免重复，一个区间取端点，与这个区间“衔接”的另一个区间不取端点值。

例如函数y=-(x-1)^2的增区间是(-∞,1]，减区间是(1,+∞)；或者写成：增区间是(-∞,1)，减区间是[1,+∞)

③无论端点处有无定义，一律不取端点值：

例如函数y=-(x-1)^2的增区间是(-∞,1)，减区间是(1,+∞)；

由于教材(人教社版、沪版、其它地方版)对是否取端点值没作明确的规定(无定义除外)，所以，在中学数学范围内，写成开区间或闭区间都算对，不予扣分。

在数学里，函数的单调区间，到底该取、还是不该取端点值呢？

函数单调性的分析定义，是在某一区间内导函数值为正或为负，从而定义这个区间是函数的增区间或减区间，这里并不包括使导函数值为0的驻点。

由此可见，严格来说，函数的单调区间不该取端点值。

@宠辱不惊（李尚志）@王涛 @吴康

@黄元华深圳高级中学 我的观点是：“所以，在中学数学范围内，写成开区间或闭区间都算对，不予扣分”。“由此可见，严格来说，函数的单调区间不该取端点值。

李尚志：

按照单调区间的定义：对区间内任意两点x1

王芝平：再次表明我的观点：能闭不开。

黄元华：咱俩观点一致！不过，能闭可开也行。

史嘉：@王芝平，黄元华，王方汉 只能开的肯定不能闭，能闭的可以开。在单调区间上研究其他性质另当别论了。

王芝平：这个问题的判断不能以扣分不扣分为标准，应回到单调区间的定义，还要用高等数学观点来分析。

史嘉：哦，撇开分数就好说。完全同意王老师的”全局“观点和李教授的”回到定义“的见解。

李尚志：科学精神之一就是：真理是客观的，任何人不能另搞一套，没有大学版本和高中版本初中版本之分，没有这个省和那个省的版本之分。

考试扣分多少可以有不同规定，但正确与错误的标准是永恒不变，拿到外星人那里也是一样。所以，这里没有什么高等数学观点，只有唯一的观点。中学小学可以有的东西没学，但不能学一个与大学的正确与错误相反的东西。看到群中你们说的，在考试时不准用以后才学的知识，用了就要扣分。我觉得他们都是扼杀中国人民科学精神的刽子手。他们与于丹都是一路货色：让学生相信：真理是由强权决定的，谁也不准妄议。

在学习的某个阶段，你可以教学生某种方法，但在任何情况下你都无权禁止学生用另外的正确方法做出答案。所有主张禁止的人都是民族的罪人。我从1970年从教以来始终坚持这一条标准。我的数学实验课，本来只教学生计算各音阶的频率，有一个学生不但计算了，而且用计算机播放出音乐。平时我给分最高为A+，这次破例给了A++。

教师不懂数学题不要紧，最不能容忍的是扼杀学生的科学精神。

王芝平：

@王方汉（大罕） “函数单调性的分析定义，是在某一区间内导函数值为正或为负，从而定义这个区间是函数的增区间或减区间，这里并不包括使导函数值为0的驻点。”
复旦大学数学系主编，陈传璋等主编《数学分析》上，第218页有定理：若f（x）在［a,b］连续，f’（x）在（a,b）存在且不变号，则f’（x）＞0时，f（x）在［a,b］严格上升，……

黄元华：y=x，x∈[1,+∞）。请问：增区间是（1,+∞），对吗？

张嵩：端点（1,1）并不影响函数上升的趋势，我认为开闭都正确。

黄元华：我认为这里必闭！（1,1）是定义域内的点，它处于上升趋势的起点，不可丢掉它。

李尚志：

1. 不能把端点记作(1,1)， 闭区间[1,1]就只有一点了，再改成圆括号不就没有点了吗？

2. 虚圆比实圆少一圈边界，作为集合不相同，求面积则相同，因为边界面积是零。同理，开区间比闭区间少端点，作为区间不相同，求长度则不同，因为端点长度是0。

3. 递增递减都是在某个区间。单独一点没有比较就不能递增。如果说在某点递增，一定是在某点附近任意小区域递增。端点是否递增？看这端点附近任意小区域是否递增。如果是，就说明闭区间递增。既然你要求的单调区间做到最大，就只能有一个正确答案，只要闭区间内递增，开区间就不是最大，就不能算正确答案，更不能说根据某某机构某某权威的规定，不予扣分。哪怕扣0.001分也得扣一下，算总分再四舍五入进上来都可以。组织机构有权决定扣多少分，无权决定说两个都对，耶和华也没这个权力。千万不要给学生进行“数学对错长官决定”的教育。如果明确要求划分为两两不交的区间之并，就会有半开半闭空间。总之，数学答案的正确与否，只能有数学的理由，不能有行政的理由。

黄元华：

@宠辱不惊（李尚志） 老师早上好！[强][强][强][强]高见！说明一下：我提到的（1，1）是点的坐标，而不是区间。请问您是否赞同＂能闭则闭＂？现在教材没有统一规定。我认为应该这样：增区间应该是函数递增的最大的区间，减区间亦然。故我坚持：能闭必闭！

王芝平：@宠辱不惊（李尚志）我也有这样的意思，但却说不出来。谢谢李老师！

李尚志：既然要求最大区间，当然就应该能闭就闭。如果人为地允许砍掉端点，就不是最大。我那篇就是为了支持黄老师的。不过不是用定理支持，而是用公理支持。不能说李尚志说对所以对。
黄元华：@宠辱不惊（李尚志） 老师好！现在的问题是没有一个统一的规定，一线老师们未必都知道多种答案都算对。这样老师们对学生的要求可能就各不一样，也给阅卷工作带来了麻烦。
樊文联：区间大小没有定义，多个端点测度不变，其实关于端点处理在讨论单调区间时，写成开区间，我和学生说永远不会错
黄元华：@樊文联 好！问题是所有专家、阅卷老师是不是达成了共识？否则在是否扣分上会有分歧[抱拳][握手][握手][握手]
王芝平：怎么又回到扣不扣分上去了？李教授循循善诱了半天，就是想告诉大家：标准在数学里找，不能由“长官”说了算！
黄元华：

李强军：从增减性的定义看，连不连续没有区别，还是回到了前面的问题，应该是第一个。

萧特：前者严谨正确，后者不妥，但可以说成：在……，……，……区间上递增，递增区间与区间递增是两个不同概念
现行教科书是这样处理的：

在高一上讲函数单调区间，在端上处有定义可开可闭，无定义只开不闭；

高二下讲导数时，涉及函数单调区间，为降低理解难度，一律写开。

我对当下教科书的”规则”理解是否透彻？