数学能搭建在逻辑的基础上？罗素从信心满满到失落不甘

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1901年春天，数学界面临着罗素悖论的挑战，众多的数学家感觉到数学的基础正在他们脚下动摇。罗素悖论不仅对数学领域产生了深远的影响，而且引起了一场认识上的混乱，时间长达10来年。罗素为此付出了卓绝的努力，并且他很大一部分精力都花在应付众多同行的批评上了。

罗素通常被认为是逻辑主义运动的奠基者，拥有很多拥护者，同时也引起了很多异议。逻辑主义者想说明：所有的纯粹数学都是从纯粹的逻辑前提得出来的，并只运用可以用逻辑术语定义的概念。

逻辑主义似乎在做两方面的努力。首先，宣称所有的数学都可以用逻辑术语来诠释。因此，数学术语和符号就组成了一个逻辑术语和符号的有效子集。其次，宣称所有的数学证明都可以用逻辑证明来重新表达。也就是说，数学定理可以组成逻辑定理的合理子集。

通过强调纯粹数学是由逻辑的步骤组成的，罗素说：“纯粹数学完全是由断言组成的，大意是如果某某命题在某种情况下为真，那么另一个某某命题在那种情况下也为真。”

罗素的观点招致了批评。后来罗素写道：“在一开始，这个论题是不受欢迎的，因为在传统上，逻辑是与哲学和亚里士多德联系在一起的，所以数学家们认为这跟他们不相干，那些认为自己是逻辑学家的人也极不愿意被要求掌握一门新的有相当难度的数学技术。”

在众多的批评人中，有一位德高望重的法国数学家朱尔斯·亨利·庞加莱。克罗内克死后，庞加莱成为康托尔超限数学的主要反对者，而罗素的逻辑大厦主要就建立在康托尔集合论的基础上，庞加莱对罗素的态度就可想而知了，彼此间是毫不留情。

罗素

伯特兰·阿瑟·威廉·罗素，1872年5月18日生于威尔士的特雷克。不幸的罗素：2岁，失去母亲；4岁，失去父亲；6岁，失去祖父；因此主要由祖母带大。罗素一直在家接受家庭教师的教育，直到18岁。

尽管祖母的品行好，但成年后，罗素感到很压抑。如他所说：“在我到14岁后，我祖母的知识局限让我很难受，她的清教徒道德规范也开始显得有些过分。”事实上，终其一生，罗素经常发现自己陷入理智与情感的冲突之中。

十几岁的罗素表现出了优异的智力，罗素在《自传》中写道：

在11岁时，我的哥哥做我的导师，开始教我欧几里得几何。在我的一生中，这是一桩重大事件，像初恋一样让我激动狂喜。我从来没想到，世界上还有这么美好的东西。在学完第五命题后，哥哥告诉我通常人们认为它很难，但我发现根本就不难。第一次我突然明白我也许有些聪明。从那一刻起，直到38岁与怀特海合作完成《数学原理》，数学是我主要的兴趣，也是我主要的快乐源泉。然而像其他所有的快乐一样，它不是纯粹的。有人告诉我欧几里得几何里的内容都是依据于证明，但我失望地发现它是从公理出发的。在开始的时候，如果哥哥不能给我讲清楚这样做的理由，我就拒绝接受它们。但他说：“如果你不接受它们，我们没法续学习了。”我希望继续学下去，于是我暂时不情愿地接受了它们。当时对那些数学前提的疑惑一直伴随着我，决定了我后来所从事研究的方向。

1890年，罗素进入剑桥大学三一学院学习数学和哲学。两年后，被邀加入一个人数不多、人员经过精心挑选的“使徒社”，社团经常在大学里组织聚会。对罗素有着重要影响的A·N·怀特海也是社团成员之一。罗素自认为在社团的活动是一生中在剑桥最大的快乐，甚至远比他的成就给他的快乐多。

关于自己的早期发展，罗素写道：

在上剑桥之前，我就已经对哲学感兴趣了，但除了密尔的书，我没有读别的。为假设数学是对的找到一些理由，是我最大的期望。密尔的《逻辑》在这个学科上的主张给我的印象是很不完全的……除了一堆错误，我的数学导师从未向我说明假定微积分正确的理由……在第四学年，我读了大部分伟大哲字家的著作，也读了很多数学哲学上的著作。詹姆斯·沃德一直都给我这个学科最新的书看。每次我把它们还给他时，我都说它们写得很糟糕。我清楚地记得他的失望和他为了让我满意而去找书所付出的艰辛努力。之后，我已经成为剑桥的一名教员了，我从他那里得到两本薄书，两本书他都没读过，也不认为有什么价值。它们是格奥尔格·康托尔的《集合论》和弗雷格的《概念文字》。最终，这两本书给了我想要的依据。

很快，罗素对康托尔入了迷。在19世纪的最后几年，罗素每天走到岳父母在格罗斯菲那路的家去，在那里花时间读格奥尔格·康托尔，并把要点抄到一个笔记本里。

罗素在校的时候，剑桥进行了一场意义深远的变革。管理层开始认为学术研绝不仅是课后打发时间的业余爱好，更应该是教师工作的重要组成部分。原创性的研究成果可以赢得丰厚的奖学金，在1895年，罗素因为关于几何基础的一篇论文获得奖学金，并发表于1897年。

在这次成功之后，罗素开始汇集各种观点，以对数学的基础做一番综合的整理，并开始思考：在少数几个基本逻辑概念的基础上创建数学是可能的。

逻辑主义

罗素不认为，数理逻辑甚至逻辑主义是突然从自己的脑子里蹦出来的。其他数学家对数理逻辑和数学的基础的审视，引导了罗素。

19世纪70年代末，德国逻辑学家、数学家、哲学家戈特洛布·弗雷格已发现大部分数学都可以由很少量的逻辑陈述推导出来，1884年，发表《算术基础》，书中对算法公理化作了早期尝试。可惜在很大程度上这本书被忽视了。

弗雷格相信，逻辑和数学的结合在理论上是可能的，于是他开始设计用来作为源头和基础的命题。到1902年，他已经将自己的成果汇总起来，并发表了《算术基础》的第一卷。弗雷格正出版第二卷的时候，对他早期的《算术基本定律》印象极深的罗素意识到，自己的悖论在弗雷格的公理体系中产生了矛盾。罗素写信告知弗雷格的，弗雷格极为震惊。

对弗雷格来说，由于《算术基础》的第二卷已经印好了，很难对其再做出任何修改。因此，他加了一个附录作声明，声明开头是这样写的：

工作刚刚完成，其赖以维系的根基就垮掉了，对于一位科学家来说，没有比这更郁闷的遭遇了。当我的书接近出版的尾声时，伯特兰·罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。

历史记载表明：在这以后，弗雷格变得非常沮丧，甚至有了阴影，尽管主要是出于个人甚至是政治原因。直到晚年他才再次做一些为人称道的工作，尽管不是这个领域了。1923年，弗雷格得出这样的结论：尝试把数学建立在逻辑的基础上是误入歧途。

具有讽刺意味的是，当1901年提出罗素悖论时，罗素已开始致力于逻辑主义上的《数学原理》。虽然弗雷格放弃了从逻辑中建立数学的努力，但罗素决定继续下去，并发表了他的成果。弗雷格的第二卷虽然也发表了，但己是在10年之后，而第三卷一直都没完成。

在《数学原理》的前言中，罗素承认：“弗雷格教授的成果，大部分都先于我，当他的现有成果开始出版时，其中的大部分我都不懂。我已经见过他的《算术基础》，但是由于他的符号系统太难，我没有领会它的重要性，也不懂它的内容。在这么晚的时候，对他的成果做出适当回应的唯一办法就是给它加上一个附录。”换句话说，罗素认为弗雷格的路线是正确的，只是罗素悖论使弗雷格无法继续工作了，而这个艰巨的任务就留给了罗素。同时，罗素还说：“尽管他（弗雷格）做出了划时代的发现，但在1903年我注意到他之前，他一直完全得不到赏识。”

为数学的原理创建一个更全面的处理方法是罗素的目标，他开始更坚定地相信：纯粹数学能够建立在一小部分基本的逻辑概念上，它的命題也能从为数不多的基本逻辑原理推异出来。但对初稿，罗素并不满意。

1900年，罗素参加巴黎召开的国际哲学大会。他后来写道：

这次会议是我知识生命的一个转折点，因为在这里我遇到了皮亚诺……在大会的讨论中，我发现他一直都比其他任何人更精确，在他参与的辩论中，他总是能获胜。过了一段时间，我明白这应该是由于他精通数理逻辑。因此，我让他把他所有的研究成果都送给我。大会一结束，我就隐退到芬赫斯特，安静地琢磨他和他的弟子写的每一个字。对我来说，很明显他的符号为逻辑分析提供了一个工具，这正是我寻求多年的。

罗素很快就领会了皮亚诺的想法和内涵丰富的符号系统，并开始在此基础上重写他的书。

逻辑主义的面世

1903年面世的《数学原理》第一卷受到了欢迎，提出了很多支持逻辑与数学间有密切关联的观点。第二卷将写入这些观点所需要的证明，但它一直没有完成。结果是它演变成了鸿篇巨制的三卷本《数学原理》。而且这套书，是分阶段在与好友兼同事阿尔弗莱德·诺斯·怀特海合作下完成的。

后来，罗素发出一个挑战：

如果还有人不承认逻辑和数学的一致性，我们可以挑战他们，让他们指出，在《数学原理》严密的定义和推导过程中，哪个地方没有逻辑而只有数学？！

在写作《数学原理》的同时，罗素并未停止解决悖论问题。他开始怀疑这些悖论构成了某种恶性循环，并寻求规避这个悖论的方法。开始，曾尝试用一种称作类型论的方法，该方法的基本观点是区分个体、个体的范围的范围，依此类推。每一层次成为一个类型。他把这写在《数学原理》的附录里。至此，这个被大家纷纷议论了很多年的观念，第一次出现在了书面上。然而尽管它能解决罗素悖论，却不能解释康托尔的。

1905年，罗素尝试使用新想法，摸索出三个不同的方法：

• 曲折论，在考虑定义清楚的类时，对命题函数的复杂程度加以限制；
• 限量论，制定规则以防止某些类过大而引起矛盾；
• 非类论，提议完全废除类。

这三个方法都成为后来研究的对象。罗素在名为《关于超穷数和超穷序型理论中的一些困难》的论文中提出这些方法。1905年12月14日，在伦敦数学学会上宣读了这篇论文，并发表在《伦敦数学学会会报》上。论文中，罗素这样开头：“在某些逻辑推理的思考方法帮助下，我们可以相信三个理论中的每一个都是合理的。”

庞加莱

朱尔斯·亨利·庞加莱于1854年4月29日生于法国的南希。在专业化迅猛发展的时代，他是屈指可数的，涉猎广泛的数学科学家之一：在世纪之交，他已经在包括数论、拓扑学、概率论和数学物理学等诸多领域有所建树；还写了一套关于天体力学的三卷本著作；在狭义相对论方面也做出了开创性的工作。

庞加莱在工作方法上有某些特别之处：

• 他特殊的工作时间，从上午10点到中午，从下午5点到7点。在晚上，他读期刊。
• 阅读面广泛，但不利用别人的成果来开展自己的研究思路。在自己的研究工作中，庞加莱直接从最基本的地方入手来得出观点。

到和罗素发生争论时，庞加莱获得了所有能够获得的奖章和奖金，还被选为最显赫的科学和数学组织的成员。1887年，年仅32岁就被选为法国科学院的成员，他开始为更多读者写东西。非技术类书籍和文章总数接近100本（篇），几乎都是在入选科学院后所写。

在国内国外的声誉日隆的庞加莱，经常被邀请为大众就数学和科学发表演讲或撰写文章。作为一位不平凡的数学家和科学家，他有着异常广泛的兴趣、博览群书并且都能掌握，而且还开始更多地关注自然和数学哲学的基本问题。

与克罗内克和他同时代的其他人一样，对于在当时生根的新数学观念，庞加莱有一些非常明确的想法，例如：

• 没有必要去给整数下定义或者将它们的性质公理化；
• 如果不能用有限的语句给一个对象作出清楚而完整的定义，我们就不能引入它；
• 集合论是一个病例，并预测：“后人会认为集合论是一场我们设法痊愈的病。”

庞加莱认为一些数学观点比逻辑更基础，不能用逻辑术语来表述。1904年，他写道：“运用逻辑，我们证明；利用直觉，我们创造。”后来他声明：“因此，如果没有直觉的浇灌，逻辑还是荒漠一片。”

基于庞加莱所笃信的数学理念，不难理解他更倾向于研究应用数学。他说：“经验是所有真理的唯一来源。”虽然这最终导致他去深刻思考科学知识的基础，但对具体有形事物的倾向还是根深蒂固。因此，与视无穷为一个实在且可演算的概念的康托尔形成对比，庞加莱反对无穷集的主张。他主张：“实无穷是不存在的。无论多少事物已经存在，我们称为无穷的东西只具有创造新事物的无限可能性。”莫里斯·克莱因写道：

（庞加莱）非常讨厌严重依赖符号逻辑的方法，在他的《科学与方法》中，他甚至对这种行为作了讽刺。布拉利一福蒂在1897年的一篇文章中针对整数运用了一个这样的方法，人们会发现文中用了令人晕眩的符号来定义1这个数，谈到这时，庞加莱说，对于以前从来没有听说过1这个数的人来说，这是一个极好的定义，很合适让人们了解它。

在另一篇庞加莱的早期文章中，有一个更偏激的声明：

逻辑有时候制造怪物。半个世纪（以来)，我们已经看到，一些怪异的方程出现了，它们看起来竭力要跟有些实际用途的方程尽可能地不像……以前，发明一个新的方程是为了一些实际的目的；现在，它们发明出来，就是为了给我们前辈的推导找茬，除此之外，我们永远也不会从中得到什么。

因此，庞加莱注定会成为倚重集合论的逻辑主义的主要反对者。在法国有一段时间，罗素的逻辑主义主要反对者是法国数学家路易斯·库蒂拉特，他在1904年和1906年发表了一些文章。罗素的文章发表在1906年的《伦敦数学学会会报》上。庞加莱找到了自己的靶子，该扣动扳机开火了。

庞加莱的攻势

庞加莱决定对罗素的逻辑主义发起一个全面的批判。为了使哲学和各种科学能相互理解，法国期刊《形而上学与伦理学杂志》于1893年开始出版。庞加莱成为该杂志的主要投稿人之一。在罗素的论文发表两个月后，庞加莱以《数学与逻辑》为题在《形而上学与伦理学杂志》上刊发了反对文章。激烈的争论就此拉开序幕。

庞加莱从回溯康托尔开始他的批判：

很多数学家跟随（康托尔的）指引……在他们的眼中，为了用真正逻辑的方法教算术，我们应该从确定超穷基数的一般性质入手，然后从它们中间区分出一个非常小的类，即普通整数的类。由于这条便道，我们会在证明所有与这个小类相关的命题上取得成功，而无需运用任何与逻辑不相关的原理。

然而庞加莱主张：

这种方法显然与任何健全的心理相悖；当然，人的智力也不是用这种方法在构建数学中取得进展的。因此我想，它的作者该不会梦想到在中学教学中引入这种方法吧。它符合逻辑吗？或者这样说更好，它是对的吗？这让我疑惑……

他接着说：

不幸的是，他们得出了称之为康托尔悖论的矛盾结果……这些矛盾没有让他们沮丧，他们努力去修正他们的规则，以便让那些已经不言自明的矛盾消失。尽管如此，他们还是不能确定，新出现的矛盾是否也是不言自明的。

该是对这些不实学问进行审判的时候了。我不奢望让他们明白，因为他们已经在这种氛围中呆得太久。另外，当他们的一个例证被驳倒后，我们肯定会看到它以一种无意义的变化形式复活了，它们中的一些已经从它们的骨灰中复活过好多次了。

然后，他说：

这样，可以被理解为，说明一个定理，知道它是什么意思既没有必要，也没有什么优势可言。几何学家也许会被“逻辑钢琴”所替代……或者如果你愿意，可以想象一台机器，一端输入假定，另一端就会输出定理，就像传说中的芝加哥机器一样，扔进活猪，出来的都变成火腿和香肠。除了这些机器，对于他们所要做的，数学家们不需要知道更多。

因此，从假定推导到定理的逻辑正确性不应该是唯一让我们投入的事。完美逻辑的规则是数学的全部吗？这就好比说，下棋的全部美妙之处就在于移动棋子的规则。在所有能由逻辑提供的材料建立的构造中，我们必须做出选择。真正的几何学家会明智地作出这种选择，因为有可靠的直觉或模糊的意识在指引着他。我知道，这种模糊的意识不会是更深奥和更隐秘的几何，只凭它就可以赋予这栋在建造的大厦以价值。

还有庞加莱对于罗素尝试解决“悖论”的讽刺：

依据曲折论，当“定义（命题函数）很简单时，它们决定一个类；当它们复杂和含混时，它们不能决定一个类。”现在，谁来决定一个定义是否可以被认为简单到能被接受？如果不对完全无能为力做一个忠实的坦白的话，这个问题就没有答案。“那些让我们认识到这些定义是否正确的规则将会极其复杂，不能用任何合理的原因来解释它们。”……除了排除悖论以外，我还没能找到任何其他的指导性原则。

庞加莱这样结束这一个观点：

因此，这个理论仍然很含混；于是，黑暗中出现了一线曙光一一“曲折”。罗素称之为“曲折”的这个词毫无疑问就是使艾皮米尼地斯狡辩显得与众不同独特之处。

庞加莱指的是艾皮米尼地斯的话“我在说谎”。这句话引出了一个悖论。

关于限量论，庞加莱争辩说：

如果一个类范围太广，它将没有理由存在下去。也许它可以是无限的，但它不应该大得过分了。但我们经常反复遇到同样的难题：在哪一个点上，它才开始变得过大？当然了，这个难题还没有解决，但罗素就接着去讨论第三个理论了。

接着，庞加莱矛头转向罗素的非类论。矛头指向罗素在《会报》上发表的论文的结尾的一个附录：“通过进一步的研究，我现在感觉到，对于这篇论文第一部分中叙述到的所有难题，非类论都能提供一个完整的解决办法，这几乎是没有什么疑问的。”

庞加莱不是很赞成这种说法，指责说：

在非类论中，不允许说“类”这个词，这个词必须用各种委婉的说法来代替。对于只谈类和类的逻辑来说，这是多么大的一个改变啊！重组整个逻辑变得很有必要。想象一下，在谈论一个类问题的地方，整页的逻辑会让所有的命题看起来怎样地压抑啊？在一页乏味的论述之中，将会只有零散的命题幸存下来。

庞加莱的其他指责：

在多产的问题上，看起来库蒂拉特先生有些天真的幻想。照他的说法，逻辑给了创造以“支柱和翅膀”。接着，在下一页中有“10年前，皮亚诺就出版了他的《汇編》”。有翅膀10年了，还没有飞起来，怎么会这样呢？

我对皮亚诺致以最高的敬意，他出产了很多杰作。但终归是，他还没有比大部分没有翅膀的数学家走得更远、更高、更快，也许他用他的双腿行走会更好。

相反，在逻辑中，我只看到了束缚创造的镣铐。它对简明没有帮助一一而且差得很远。如果在说明1是一个数时需要27个函数，那么，要证明一个实定理的时候得需要多少个函数呢？

罗素的反击

为确保庞加莱明白自己的观点，罗素在庞加莱家乡的《形而上学与伦理学杂志》上做出回应。在1906年9月这一期上，这样开头：

我相信，庞加莱先生发表在这份期刊上的文章《数学与逻辑》误解了我关于逻辑的性质和目的……同时，它还提出了困扰超穷集合论悖论的一个解决办法。庞加莱先生主张，这些悖论都起源于某种恶性循环，在这一点上，我同意他的说法。但他没有意识到避免这种恶性循环的难度。我应该努力说明，如果要避开它，像我的“非类论”之类的东西似乎是必需的。的确，正是为了这个目的，我发明了这个理论。

接下来是大约20页的解释，当然少不了对庞加莱的指责的回复。

一个特别有趣的例子是他对庞加莱轻视皮亚诺的回复。罗素回应说：

对于庞加先生对皮亚诺先生的评价，我必须满怀谦恭地斗胆提出与他不同的一点意见。

现在，我要向庞加莱先生表明，这只是说明皮亚诺先生的工作没有引起他的兴趣的一种表述方法。皮亚诺先生已经锻造出一个对某些研究来说具有巨大力量的工具。我们中的一些人对这些研究感兴趣，从而对皮亚诺先生充满敬意。我们认为，他正如我们中的这些人所敬重的那样，比那些忽视他的“无翅膀”的数学家走得远和快得多。

罗素回应庞加莱对非类论的评价：

如果庞加莱先生能够抛弃对逻辑与数学任何其他门类都截然不同的信念，他也会意识到：在倡议不把类当作独立的实体上，我不是在倡议做出一个改变，以使它对于“重组所有逻辑”将是必须的；我也不希望禁止人们“说‘类’这个词”，就像哥白尼希望禁止人们说日出一样。

罗素认为，庞加莱的问题是他不了解自己在做什么：

也许，一个类比会让大家明白，这个改变根本就不是那么大。现在广为接受的无穷小量微积分学，既不运用无穷小，也不以它为前提。但是这在多大的程度上改变了无穷小量微积分的面貌？几乎没有。某些证明被重写，某些困扰18世纪数学家的悖论已经解决了；否则微积分的规则会几乎没有改变。

罗素总结道：

庞加莱先生告诉我们，“逻辑中更清楚的观念”不是我们需要的，但他没有向我们揭示他做出这个重要发现的过程，对我来说，我只能想，他对避免恶性循环的尝试说明了那些轻视逻辑的人的命运。

争端在继续

在又一次的反击中，庞加莱写道：

不存在……实无穷。康托尔主义者已经忘了这个，并且他们已陷入矛盾中。的确，康托尔主义有用，但这是在运用到一个术语被精确定义的实际问题时……

像康托尔主义者一样，逻辑主义者也会忘了它，并遭遇同样的困境。

后来他又说：

罗素察觉到了这种危险，并听取了劝告。他想改变一切，而且很容易理解的是，他不光在准备引进新的原理，这些原理的应用在以前是禁止的；他还在准备禁止一些他以前认为合理的应用。他已烧毁的他又重拾起来，他喜爱过的他又打算烧毁，而这种倾向更严重。他不给大厦加上一个新翼，反而掏空它的根基。

罗素在一篇题目为《以类型论为基础的数理逻辑》的新论文中做出了回应，发表在1908年的《美国数学杂志》上。在文中，提出了一个新的类型论。1909年，庞加莱在《形而上学与伦理学杂志》上发表名为《无穷的逻辑》的文章做出回应：他给出了解决困扰逻辑悖论的方法，事后表明这是他在这上面最后的建议。

• 只考虑能用有限语句定义的对象；
• 永远不要忘了，每一个关于无穷的命题肯定是一个关于有限的、转化了的、有所删改的陈述；
• 避免不肯定的定义和分类。

对于有限与无穷的区别，庞加莱在他1909年的文章中说：

罗素先生将会毫无疑问地告诉我，它们没有心理学上的区分，只有逻辑和认识论上的区分。我不得不被迫做出回应：没有独立于心理学的逻辑和认识论。这段信念的表白大概会结束这场讨论，既然它将展示我们观点上无法调和的分歧。

然而罗素并不会善罢甘休。1910年5月，他再次在《形而上学与伦理学杂志》上发表名为《逻辑类型的理论》。此时《数学原理》第一卷即将面世，在其绪论中，与这篇最新的文章一样，提出了他在逻辑论上最新的想法。

在文章中，他再次讨论起几个主题，包括对“要避免的悖论都起源于某种恶性循环”的赞同；还加上了一些关于类的最新的权威性研究；对他早期的研究做了拓展。在这篇文章的后面，再次解释了他的类型论。在更后面他写道：

庞加莱先生的文章《无穷的逻辑》中有一点需要做点解释。他断言：‘除非我们假定序数论已经成立，否则类型论依然是不能理解的’。这个断言对于我来说，似乎存在着某种混乱。

这种针锋相对的交流还会继续下去吗？也许会，但命运不允许。不久后，庞加莱因前列腺疾病，在手术后出现了并发症，于1912年7月12日去世了。

失落的罗素

庞加莱的反对，对罗素及其在逻辑主义上的观点有什么影响？1938年，在他1903年的《数学原理》的再版中，可以找到一个画面。罗素决定“这本书现在所具有的兴趣是历史上的，它存在于这样一个事实中：它代表了在它这个科目发展中的某个阶段。因此，我没有改变任何东西，但在这篇前言中，我应该尽力说明白：在哪些方面，我坚持它表达的观点；在另外哪些方面，对于我来说，后续的研究似乎表明它们是错的。”

总而言之，他告诉我们：“下文关于数学和逻辑是同一的基本论题，我从来没有看到有任何理由要去修改它。”然而似乎有些一直让人困惑的东西，包括逻辑本身的定义，“因此，定义逻辑或数学决不简单，除非运用一些给定的前提”。

他也提到了庞加莱。即使在1938年，罗素仍然执着于疗救因庞加莱著名的评论所造成的伤痛：

我还是回到悖论的问题和类型理论。亨利·庞加莱认为数理逻辑对发现没有帮助，因而钻研它是白费工夫，并且他还对悖论的出现感到欣喜，然而，以前被所有逻辑学家接受的前提会引出悖论，数理逻辑所要做的就是让这些悖论变得明显，不管数学有多么无辜。这些悖论不一定都是新近出现的，有一些可以回溯到古希腊时代。

但罗素不至于蠢到认为这些年逻辑主义理论一点变化都没有。他在前言承认：

在数理逻辑中，还是有很多有争议的问题，它们……我不打算去解决它们。我只一次提到过关于这些悖论的问题，但在我看来，自从我写《数学原理》以来，已经有了非常明确的进步……对我来说，在这中间的34年，我们所需要的哲学上的变化似乎部分归功于数理逻辑在技术上的进步。

正如克莱因指出的：

尽管在《数学原理》的第一卷中，罗素和怀特海毫不犹豫地引进无穷公理和选择公理，但他们在后来确实放弃了这种做法。他们不仅承认逻辑的基本定律不是绝对的真理，而且承认这两个公理不是逻辑的公理。在《数学原理》的第二版中，这两个公理没有出现在书开头的列表中，在需要它们证明某些定理时，对它们的应用也作了特别说明。

事实上，在罗素1938年《数学原理》的前言中，他已经没有了早年的乐观，不再对自己的观点抱有终极成功的自信了。这要部分地归因于1931年哥德尔对一致性与完备性不相容的证明。这多少与当年的弗雷格有点相似。