九年级数学，直角三角形内切圆问题延伸

在人教版九年级数学上册课本第103页有这样一道题目：

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b。求△ABC的内切圆半径r。（图形如下图所示）

课本题目

根据这道题目，可以推导出直角三角形内切圆半径的两种计算公式。

思路一是利用切线长定理。把斜边AB用a，b，r三种字母表示出来，最后推导出a，b，c和r的第一种关系式。

思路二是利用面积法，连接AO，BO，CO把三角形ABC分为三个小三角形，这三个三角形的面积加起来等于二分之一的AC乘BC，从而推导出a，b，c和r的第二种关系式。

具体做法如下图所示：

两种解法

熟记这两个公式，能快速解决许多相关的填空题。例如下面这道题目：

《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的”勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾,内容圆径怎生求?有人算得如斯妙,算学方为第一筹”。当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步,勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径。

分析：根据题目可知：直角三角形三条边长分别为8,15,17。所以使用第一个公式r=1/2（8+15-17）=3，所以直径为6。使用第二个公式的话，r=8X15/（8+15+17）=3，直径为6。

延伸：这一种类型的题目还可以从特殊到一般，由直角三角形到一般三角形。

（2017·武汉）已知一个三角形三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为多少？

分析：这道题目的解题思路其实和上面的解法2相同，就是用面积法。具体解答过程如下图所示：

解答过程