代数学的发展

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文艺复兴是从中世纪向近代过渡的时期，是资产阶级新文化的思想解放运动。

（一）代数学的兴起

代数学的重要进展是文艺复兴时期成果最突出，影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。

1）三、四次方程的求解

费罗第一次发现了形如ax^3+bx+c=0 三次方程的代数解法；随后，塔塔利亚发现了 x3+px+q=0 的三次方程的代数解法。卡尔丹在《大法》中将塔塔利亚的方法推广到一般的三次方程并且补充了几何证明。对于带有二次项的三次方程，可以通过变换将二次项消去，从而变成卡尔丹能解的类型。）

三次方程解决后不久，费拉里（卡尔丹的学生）解决了一元四次方程的求解问题。1637年，笛卡尔首次应用待定系数法将四次方程分解成两个方程求解，也就是因式分解定理。1572年，邦贝利引进虚数，解决三次方程不可约的情况。

1629年，吉拉德发现代数基本定理（对于n次多项式方程，如把不可能的（复数）根考虑在内，包括重根，则应有n个根）

2）数学符号的系统化

正是由于符号化体系的建立，才能使代数有可能成为一门科学。

韦达（符号代数之父）在《分析引论》中，建立了抽象代数的符号，由于他的符号体系的引入导致代数性质上的伟大变革。近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍地使用了数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。

在韦达之后，吉拉德《代数新发现》和奥特雷德《实用分析术》发展了韦达的这种做法，使采用数学符号的风气流行起来。笛卡儿还改进了韦达的代数符号工作。

（二）三角学的发展（15C—16C）

三角学起源于天文观测，最先发展的球面三角学。雷格蒙塔努斯《论各种三角形》是欧洲第一部脱离天文学的三角学专著，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理，他还在《方位表》中制定了多达5位的三角函数表，雷格蒙塔努斯首次对三角学作出完整，独立的阐述，使其开始在欧洲广泛传播。

雷提库斯将传统的弧与弦的关系，改进为角的三角函数关系，并采用了六种函数表（正弦，余弦、正切、余切、正割、余割）。

韦达将三角学的平面三角和球面三角系统化，他在《标准数学》和《斜截面》中把解平面直角三角形和斜三角形公式汇集在一起，还给出了解球面直角三角形的方法和一套公式，并将三等恒等式表示出了代数形式。

在16C，三角学已从天文学中分离了出来，成为一个独立的数学分支。

（三）透视学到射影几何学的发展（16C—17C）

文艺复兴时期的绘画，制图的发展导致了富有文艺复兴特色的学科—透视学的兴起。进而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契是第一个认真研究透视法并运用几何方法进行绘画的数学家。阿尔贝蒂的《论绘画》一书是早期数学透视法的代表作，成为射影几何发展的起点。

德沙格的第一篇关于透视法的论文，《论锥面截一平面所得结果的初稿》虽然晦涩难懂，影响很小，但这部著作也充满了创造性思想，他从焦点透视的投影与截影原理出发，对平行线引入无穷远点概念，继而获得无穷远线的概念。随后，讨论了德沙格定理。后来还讨论了一些射影性质，证明了投影变换下交比不变性定理。

从合点问题出发首次讨论了调和点组的理论，定义了对合概念，还引入共轭点和调和点组，认为对合、调和点组关在投影变换下具有不变性，并进一步研究了极点与极带理论。最后利用这些理论研究阿波罗尼奥斯的圆锥曲线，将圆锥曲线直径视为无穷远点的极带，通过投影和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。

帕斯卡，著有《圆锥曲线论》，他在射影几何方面最突出的成就就是帕斯卡定理。

画家出身的脸伊货到德沙格的影响，他在著作《圆锥曲线》中首先证明了有关调和点组的圆性质，并推广到圆锥曲线上，证明了阿波罗尼奥斯的364个关于圆锥曲线定理中的300个。最突出的地方是在于极点理论方面的创新。

德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视为欧几里得几何的一部分，在17世纪人们对二者不加区别。当时这一方法诱发了一些新的思想和现状：

1）一个数学对象从一个形状连读变化的思想和观点； 2）变换与变换不变性；

3）几何新方法——仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量。

17C射影几何学家的方法是综合的，而且得出的结果也是定性的，不那么有用。因此射影几何产生不久后就很快让位于代数，解析几何和微积分，德沙格、帕斯卡、拉伊尔等人的工作与结果逐渐被人们所遗忘，19世纪才又被人们重新发现。

荷兰数学家史蒂文发表《十进算术》系统地探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数，还建议度量衡及币制中也广泛采用十进制。这种十进制的采用为计算技术改进准备了必要条件。（16C）

由于天文和航海计算的强烈需要，这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，纳皮尔在球面天文学的三角学研究中，首先发明了对数。（17C）

布里格斯与纳皮尔合作发明了常用对数，因为我们的数系是十进制的，从而它在数值计算上具有优越性。他的ㄍ对数算术》编制了1~2000以及9000-10000的14位常用对数表。

比尔吉也独立地发明了对数以简化天文学计算，迟于纳皮尔发表。

对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，拉普拉斯赞誉道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命。”

代数基本定理是代数学的中心定理，高斯给出了代数基本定理的4个证明。拉格朗日讨论与总结了数学史上二次，三次，四次方程的解法，并发现了对一般五次和五次以上的方程根式是不可能的，因而猜测高次方程一般不能根式求解。随后，阿贝尔首次证明了五次及五次以上的方程不可能用根式求解。所以，数学家们就面临着一个问题，什么样的特殊方程能用根式求解？

随后，解决了这一问题。他建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历300年难题的彻底解决。他定义了历史上最早的“群”，他是通过置换群的概念。来解决方程根式可解性问题的。他还建立了“伽罗瓦群”，刻画了方程的根对称性，伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件（即方程的群是可解群）时，方程才是根式可解的。

伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端，这不只是因为他解决了方程根式可解这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象，内容和方法上的深刻变革。

数学家们对群的认识更进一步研究，如凯莱对群的深化、若尔当无限群的发明，李研究了无限连续变换群（李群），随后，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念，代数学由于群的概念的引进和发展而获得新生，它不再仅仅是研究代数的方程。而更多的是研究各种抽象的群的运算关系，为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。在20C抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心。