高中数学组合题想拿满分？那组合数的这些性质你应该知道！

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性质一

证明一：数量关系计算

证明二：构造问题情境

问题：从n个不元素中取出m个元素，则所有取法有多少种？

解：

从n个不同元素中取出m个元素，相当于从n个元素中剔除n-m个元素。即：

性质二

证明一：数量关系计算

证明二：利用杨辉三角的特征

每一行除首尾两数，其余各数都等于其肩上两数之和。

即：

证明三：构造问题情境

问题：某班有n+1个同学，现在从这个班级选取m个同学参加某项活动，有多少种不同的选法？

性质三

证明一：数量关系计算

证明二：构造问题情境

问题：

某班级共有n个同学，现在需要选出m个人参加某项活动，且确定一名同学为组长，共有多少种不同的方法？

解：做这件事，有两种方式。

方式1.先从n位同学中选出m个人，然后从中确定一名组长。

按照分步计数原理，方法数共有：

方式2.先从n位同学中选定一名为组长，再从剩下的n-1位同学中选m位同学。按照分步计数原理，则方法数共有：

两种方式所得结果相等，故有：

性质四

证明一：赋值法

证明二：构造问题情境

问题：

某班级共有n位同学，现在从中选出一些同学参加某项活动，共有多少种不同的方法？

解：

思路一：因为没有限定人数，每位同学都有选中和选不中两种不同选择，按照分步计数原理，则共有2n种不同选择；

思路二：也可以按照选中的人数进行分类，因为人数未限定，故可分为选中0个、1个、2个，……n个，共n+1种情况，按分类计数加法原理，则所有方法数有：

两种方式结果就相等，故有：

经典例题一

证明一：利用性质二

证明二：裂项相消

证明三：构造问题情境

问题：

某班有n+1名同学，现从中选拔m+1人参加某项活动，共有多少种不同选法？

解：

经典例题二

证明一：利用性质三

证明二：倒序相加法

证明三：构造问题情境

问题：

某班有n名同学，现从中选拔一些人参加某项活动，同时确定一名同学为组长。共有多少种不同选法？

解：

思路一：先从n名同学中选出一些人，再从中选出一名组长。因为人数未知，则共有n种不同情况（选1人、2人、…、n人），则所有的方法数有：

思路二：先从n名同学中确定一人为组长，再考虑其他n-1人被选中情况，每人有被选中和选不中两种可能，则所有的方法数为

两种不同思路，结果应相等故有：