小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数  2018年8月15日星期三  这些所谓“不会教”的内容。

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  小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

  2018年8月15日星期三

  这些所谓“不会教”的内容,应当属于小学数学的课外拓展知识,学有余力的五、六年级小朋友完全可以看一看。不过,从各取所需的角度,受众范围也可以大一些,因为,除了“卖弄”一些“超纲”的内容,大抵也是要复习已学知识的。没有任何一片新知的“嫩芽”不是生长在旧知茁壮的“枝杆”上的。

  谈及分数和小数,不得不简要地提一下“数的发展”(详见前文《写给小学生的:漫谈数的发展》)。数系目前共经历了4次扩张。第一次扩张诞生了负数,使得自然数扩张为整数。第二次扩张增加了“整数之比”,使得整数扩张为分数。第三次扩张是由于发现了永远不能表达成“整数之比”的无理数,使得数系扩张为小数。至此,“一维数”达到了完备,它的几何模型是“数轴”,小数与数轴完全匹配、一一对应,小数亦称实数,与之匹配的数轴亦称实数轴。第四次扩张则是由于虚数到了不得不面对的境地,数学家们勇往直上,强制规定-1的平方根为i,因而诞生了“复数”。为了更好地理解复数,人们用“二维”复平面作为复数的几何模型。至此,可以说数由“一维”迈向了高维——二维。或许,今后还有新的数系的扩张,更高维度的,您可以作畅想。但此处,我们仅为更好地理解分数与小数。

  小数可以进行如下分类:

小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

  关于其中的几个基本概念,见下面几页教材,不再赘述。

小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

人教版五数上册33、34页

  所谓“纯循环小数”,指循环部分从十分位开始的循环小数,也即小数部分“完全循环”的无限小数,如:5.333……。“混循环小数” 指循环部分从十分位以后开始的循环小数,也即小数部分“部分循环”的无限小数,如:7.14545……、6.93585858……。

  除了这些基本的概念之外,我们重点关注两点:

  (1)小数包含分数。这是对所以要进行“分数与小数的互化”的最天然、最合理的解释,因为,在此范围内的同一个数,既可以拥有分数的表达形式,也可以拥有小数的表达形式。就像一个小朋友,在家可以穿各款心爱的衣服,在校可以穿划一的校服,可以顺利切换。服装虽然变了,但人依然是那位“可爱”的小朋友。分数与小数在不改变自身大小的情况下,也是可以自由切换的。但是,我们的小学数学并没有对此做出完整的学习,我们所做的事实上仅仅是 “分数化小数”和“整数、有限小数化分数”,对于“无限循环小数化分数”,则是没有学习的。本文正是针对这一空白展开拓展,拟分两篇,分别就“纯循环小数化分数”、“混循环小数化分数”展开介绍。

  (2)小数的范围大于分数。不是所有的小数都能化成分数,或者说,不是所有的小数都具有分数形式。小数中有一类特别“不讲道理”的数——无限不循环小数,也即无理数,是永远不能化成分数的。因此,所谓“分数与小数的互化”,是在“有理数”范围内的,也就是分数范围内的,而不是小数范围内的。所有的分数都能化成小数,是正确的;所有的小数都能化成分数,则是错误的。无理数,首先是无限小数。何谓“无限”?即穷尽所有的时间、空间,亦不能将其写完。然后是“不循环”,这是极让人抓狂的地方,在无穷无尽的小数部分中,居然连一丝“规律性”都没有,这使得无理数的小数部分充满了“谜一般”的效果,它变化无常,自然不可能静态化为一个安稳的、本分的分数形式。您必须对此有所认识,不要花费不必要的工夫在“寻找任何化无理数为分数的可能上”。数学家们已经利用“反证法”证明,将无理数写成分数形式是一件不可能的事情。

  在给出“纯循环小数化分数”的具体方法之前,我们先来观察一组“分数化小数”的趣题。分数化小数的实质是除法运算,即:分子÷分母。既然是除法,则其结果“商”除了是整数、有限小数之外,就是无限循环小数。这也恰好说明:只有这三类数才有可能“还原”成分数形式。至于什么情况下分子除以分母的商是有限的,什么情况下是无限循环的,我们的课本提供了简洁的判断方法,复习如下:

小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

人教版五数下册79页

  下面的“趣题”运用的就是“分子÷分母”的方法。如果将其中的最简分数如:1/9、2/9……的分母9进行“质因数分解”,则有:9=3×3。可见,其质因数全是2和5以外的,因此根据上面的判别方法可知,这些分数只能化成无限小数,好在其小数部分是“循环”的,有迹可循!其他不是最简分数的,比如:3/9、6/9……可以先化简,再应用上述判断方法。当然,终极方法是:将分子除以分母一条道除到“黑”,至少除到可以发现循环为止。

小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

  这组算式可以揭示分数的“形式之美”,它使没完没了的循环小数拥有了简洁、静态的分数形式,使其可以完整、准确地参与运算,而不再只是“截取”一部分,做近似计算。小数大抵在这方面很无能,只能采用“近似”的办法。“简洁的形式”、“准确、完整的结果”,是分数存在的重要价值,这是小数所不能取代分数的根本原因!当我们依次推导得出:0.999999……=1时,就会不禁地感叹这种简洁的“形式之美”!

  接下来我们转换观察的角度,反向思考如何将“循环小数化成分数”,则会发现上面算式的共通之处:一位循环节÷一个9。

  进一步拓展有:

小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

  几位循环节÷几个9

  (重要程度★★★★★)

  这就是“纯循环小数化分数”的方法,得来全不费工夫,我们只是在“丰厚”的旧知的基础上,略微前进了一小步。就让我们在“呯……呯……”地激动声中赶紧验证一下吧:

小学数学不会教的内容1——纯循环小数化分数

  (其中:2_5/111表示2又111分之5,是带分数的横写形式)

  怎么样?屡试不爽吧!

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