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初中数学 第六章 实数（考纲要求 思维导图 知识点梳理 典例分析）非常全面，值得收藏

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【考纲要求】

1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；

2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；

3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用；

4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.

【知识网络思维导图】

【知识点梳理】

知识点一 实数的分类

1.按定义分类：

2.按性质符合分类：

有理数：整数和分数统称为有理数，或者“形如m/n（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．

无理数：无限不循环小数叫无理数．

实数：有理数和无理数统称为实数．

要点诠释：

常见的无理数有以下几种形式：

（1）字母型：如π是无理数，π/2、π/4等都是无理数，而不是分数；

（2）构造型：如2.000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；

（3）根式型：..等都是一些开方开不尽的数；

（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.

知识点二 实数的相关概念

1.相反数

（1）代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；

（2）几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；

（3）互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数，即a+b=0.

2.绝对值

（1）代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：

（2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．

用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．

3.倒数

（1）实数a（a≠0）的倒数是1/a；0没有倒数；

（2）乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数a·b=1.

4.平方根

（1）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作±．

（2）一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作.

5.立方根

如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．

要点诠释：

若，则a≥0；若则，则a≤0. 表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.

知识点三 实数与数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．

要点诠释：

（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.

（2）实数和数轴上的点是一一对应的.

知识点四 实数大小的比较

知识点五、实数的运算

1.加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．

2.减法

减去一个数等于加上这个数的相反数．

3.乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．

4.除法

（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．

（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．

5.乘方与开方

（1）求n个相同因数的积的运算叫做乘方，an所表示的意义是n个a相乘.

正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

（2）正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．

（3）零指数与负指数：a0=1（a≠0），a-p=1/ap（a≠0）

要点诠释：

（1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．

（2）实数的运算律　 　

加法交换律：a+b=b+a　　

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)　　

乘法交换律：ab=ba　　

乘法结合律：(ab)c=a(bc)　　

乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

知识点六 有效数字和科学记数法

1.近似数　　

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.

2.有效数字　

一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．

3.科学记数法

把一个数用±a×10n（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．

要点诠释：

（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；

（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.

知识点七 数形结合、分类讨论、建模思想

1.数形结合思想　　

实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口；

2.分类讨论思想

（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏；

3. 从实际问题中抽象出数学模型　

以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放矢.

【典型例题】