数学时光教材研究切片001——斐波拉契数列

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

一、教材出处：《人教版高中数学（A版）选择性必修第二册P10-P11》

二、定义：斐波那契数列是指这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这个数列从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和。

三、特征公式及通项公式证明

至于斐波拉契数列的转化性质，大家看下面这道例题就OK了。

(多选)已知数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论中正确的是(　　)

A．S6＝F8

B．S2 019＝F2 021－1

C．F1＋F3＋F5＋…＋F2 021＝F2 022

D．F21＋F22＋F23＋…＋F22 020＝F2 020F2 021

解析：BCD　因为数列{Fn}从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，

所以Fn＋2＝Fn＋Fn＋1＝Fn＋Fn－1＋Fn＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋Fn－1＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋Fn－3＋Fn－2＝…＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋Fn－3＋…＋F2＋F1＋1＝Sn＋1，

所以S6＝F8－1，S2 019＝F2 021－1，故A项结论错误，B项结论正确；

又F1＝F2，F3＝F4－F2，F5＝F6－F4，…，F2 021＝F2 022－F2 020，将以上式子相加可得F1＋F3＋F5＋…＋F2 021＝F2 022，故C项结论正确；

因为Fn＋2＝Fn＋1＋Fn，F1＝F2＝1，所以F21＝F2F1，F22＝F2(F3－F1)＝F2F3－F2F1，F23＝F3F4－F2F3，…，F22 020＝F2 020F2 021－F2 020F2 019，

将以上式子相加可得F21＋F22＋…＋F22 020＝F2 020F2 021，故D项结论正确，故选BCD.

四、教材里面在数学归纳法后面也简单提了一两句。

加油，加速失败，加速迭代，与时间赛跑。