[高等数学] 向量范数全解析

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目录

1 向量范数

1.1向量范数的定义

1.2常见的向量范数分类

1.3 范数的性质与比较

2 程序举例

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正文

1向量范数

向量范数是衡量向量“大小”的一种数学工具，满足非负性、齐次性、三角不等式三个基本性质。它在机器学习、数值分析、优化等领域有广泛应用。以下是向量范数的定义、常见分类及其特性：

1.1 向量范数的定义

对于向量

，其范数 ||X|| 是一个实数，满足以下条件：

1. 非负性 ：||X||≥0 当且仅当X=0向量时取等号。

2. 齐次性 ：||kX||=|k|∙||X|| (k为标量)。

3. 三角不等式 ：||X+Y||≤||X||+||Y||。

1.2 常见的向量范数分类

1）L_p 范数（闵可夫斯基范数）

定义：

• L_1 范数（曼哈顿范数）：

应用：稀疏优化（如 Lasso 回归）、特征选择。

• L_2 范数（欧几里得范数）：

应用：最小二乘法、几何距离计算。

• L_∞ 范数（切比雪夫范数）：

证明：

其中x_k是向量X中绝对值最大的元素。

应用：控制理论中的最大误差分析。

• L_0 “伪范数”：

||x||0 = 非零元素的个数

注意：不满足齐次性，严格来说不是范数，但用于稀疏性度量。

2）加权范数

定义：

其中 W 是正定矩阵。若 W 为对角矩阵（如 W_{ii} = w_i ），则退化为加权L_2 范数：

应用：考虑不同维度的重要性（如机器学习中的特征加权）。

3）其他范数

• L_{p,q} 范数（用于矩阵展开为向量时的混合范数）。

• 核范数（向量的奇异值之和，常用于低秩问题）。

1.3 范数的性质与比较

1) 范数等价性 ：

在有限维空间中，所有范数等价，即存在常数 c1, c2 > 0 使得：

c1||X||A ≤ ||X||B ≤ c2||X||A

例如 ：

2) 几何意义 ：

– L_1 ：菱形（稀疏解）。

– L_2 ：圆形（平滑解）。

– L_∞ ：正方形（均匀约束）。

3) 凸性 ：

所有 L_p 范数（p≥1）是凸函数，可用于凸优化问题。

2 程序举例

% n = norm(v,p)

% 创建一个向量

v = [1, -2, 3, -4]

% 计算1 – 范数

norm_1 = norm(v, 1);

disp([‘1 – 范数: ‘, num2str(norm_1)]);

% 计算2 – 范数

norm_2 = norm(v, 2);

disp([‘2 – 范数: ‘, num2str(norm_2)]);

% 计算无穷范数

norm_inf = norm(v, inf);

disp([‘无穷范数: ‘, num2str(norm_inf)]);

% 计算负无穷范数 norm_neg_inf = norm(v, -inf);

disp([‘负无穷范数: ‘, num2str(norm_neg_inf)]);

%负无穷范数是 向量元素绝对值的最小值。

%程序运行效果

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