数学建模-最优化模型-单变量最优化

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

引言

解决最优化问题是数学的一些最为常见的应用，无论我们进行何种工作，我们总是希望达到最好的结果，而使不好的方面或消耗等降到最低。这其中有一个共同的数学模型：

有一个或多个看可以控制的变量，它们通常受一些实际中的限制，通过对这些变量的控制，从而使某个目标达到最优。

最优化模型正是要给定问题的约束条件。确定受约束的可控变量的取值，以达到最有结果。

五步方法

1. 提出问题： 三个阶段（变量、假设、目标）
2. 选择建模方法
3. 推导模型的数学表达式
4. 求解模型
5. 回答问题

举例

一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需要花费45美分，猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1%，求出售猪的最佳时间。

# %% # 第一步提出问题 # 1美元=100美分 # 全部的变量 # 养猪的天数 # 猪的重量 # 猪的价格 # 饲养天数的花费 # 售出猪的收益 # 净收益 # 假设 # 从现在到出售猪期间经历的天数 days = 0 # 猪的重量 def pigWeight(days): return 200 + 5*days # 养猪期间的花费 def cost(days): return days * 0.45 # 猪的市场价格 def unitPrice(days): return 0.65 - 0.01*days # 售出生猪所获得的收益 def revenue(days): return pigWeight(days) * unitPrice(days) # 净收益 def profit(days): return revenue(days) - cost(days) # 目标 # 求 净收益 的最大值 # %% # 第二步是选择建模方法 # 很明显真正的变量是养猪的天数，所以是一个单边量优化问题 # %% # 推导模型 # %% # 求解模型 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np days = np.arange(0, 15, 1) P = profit(days) plt.figure() plt.scatter(days, P) plt.show() # %% # 回答问题 # 所以在第8天得到最大净收益 print("最大净收益是: %f, 在第8天" % profit(8)) # %%

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

灵敏性分析

我们很少能保证这些假设都是完全正确的。因此我们需要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度。这种灵敏性分析是数学建模中的一个重要方面。具体内容与所用的建模方法有关。

数据是由测量、观察有时甚至完全是由猜测得到的，因此我们要考虑数据不准确的可能性。

我们知道有些数据要比其他的可靠性高的多，生猪现在的重量、猪现在的价格，每天的饲养花费都很容易测量，而且有相当大的确定性。猪的生长速率则不那么确定，而价格的下架速率则确定性更低。

记r为价格下降的速率。我们前面假设r=1%美元/天。现在我们假设r的实际值是不同的。下面是对几个不同的r的求解结果

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!# %% # 第一步提出问题 # 1美元=100美分 # 全部的变量 # 养猪的天数 # 猪的重量 # 猪的价格 # 饲养天数的花费 # 售出猪的收益 # 净收益 # 假设 # 从现在到出售猪期间经历的天数 days = 0 # 猪的重量 def pigWeight(days): return 200 + 5*days # 养猪期间的花费 def cost(days): return days * 0.45 # 猪的市场价格 def unitPrice(days,r): return 0.65 - r * days # 售出生猪所获得的收益 def revenue(days, r): return pigWeight(days) * unitPrice(days, r) # 净收益 def profit(days, r=0.01): return revenue(days, r) - cost(days) # 目标 # 求 净收益 的最大值 # %% # 第二步是选择建模方法 # 很明显真正的变量是养猪的天数，所以是一个单边量优化问题 # %% # 推导模型 # %% # 求解模型 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np days = np.arange(0, 20, 1) P1 = profit(days, 0.008) P2 = profit(days, 0.009) P3 = profit(days, 0.01) P4 = profit(days, 0.011) P5 = profit(days, 0.012) plt.figure() plt.scatter(days, P1, color='red', label='r=0.008') plt.scatter(days, P2, color='green', label='r=0.009') plt.scatter(days, P3, color='blue', label='r=0.01') plt.scatter(days, P4, color='pink', label='r=0.011') plt.scatter(days, P5, color='black', label='r=0.012') plt.legend() # 显示图例 plt.show() # %%

所以得到结果：

我们可以看到售猪的最优时间对参数r既价格的下降率是很敏感的。

对灵敏性更系统的分析是将r作为未知的参数，仍按前面的步骤求解

y = f(x) = (0.65 – rx)(200+5x) – 0.45x

f'(x) = -2(25rx+500r-7)/5

令f'(x) = 0 则 x = (7-500r)/25r

这样只要 x >=0, 则 0 < x <= 0.014

很明显当x > 0.014后x < 0, 所以最佳的售猪时间是x=0。

猪的生长率g同样不很确定，

# %% # 第一步提出问题 # 1美元=100美分 # 全部的变量 # 养猪的天数 # 猪的重量 # 猪的价格 # 饲养天数的花费 # 售出猪的收益 # 净收益 # 假设 # 从现在到出售猪期间经历的天数 days = 0 # 猪的重量 def pigWeight(days, g): return 200 + g * days # 养猪期间的花费 def cost(days): return days * 0.45 # 猪的市场价格 def unitPrice(days,r): return 0.65 - r*days # 售出生猪所获得的收益 def revenue(days, r, g): return pigWeight(days, g) * unitPrice(days, r) # 净收益 def profit(days, r=0.01, g = 5): return revenue(days, r, g) - cost(days) # 目标 # 求 净收益 的最大值 # %% # 第二步是选择建模方法 # 很明显真正的变量是养猪的天数，所以是一个单边量优化问题 # %% # 推导模型 # %% # 求解模型 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np days = np.arange(0, 20, 1) P1 = profit(days, r=0.01, g=3) P2 = profit(days, r=0.01, g=4) P3 = profit(days, r=0.01, g=5) P4 = profit(days, r=0.01, g=6) P5 = profit(days, r=0.01, g=7) plt.figure() plt.scatter(days, P1, color='red', label='g=3') plt.scatter(days, P2, color='green', label='g=4') plt.scatter(days, P3, color='blue', label='g=5') plt.scatter(days, P4, color='pink', label='g=6') plt.scatter(days, P5, color='black', label='g=7') plt.legend() # 显示图例 plt.show()

公式 f(x) = (0.65-0.01x)(200+gx) – 0.45

f'(x) = -[2gx + 5(49-13g)]/100

令f'(x) = 0 则 x = 5(13g-49)/2g,得出图像

将灵敏性数据表示成相对改变量或百分比改变的形式，要比绝对改变量的形式更自然也更适用。

我们称这个极限为x对r的灵敏性，记为S(x, r)。

所在在售猪问题中

dx/dr = -7 / 25r^2

所以当r=0.01时，S(x, r) = -7/2， 即弱r增加了2%，则x下降了7%

同理当g=5时，我们得到S(x, g) = 3.0625，所以猪的生长率增加1%，会导致多等待3%的时间再将猪出售。

我们需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏性分析。对灵敏性系数的解释还要依赖于参数的不确定程度。原始问题中数据的不确定性程度会影响我们对答案的自信度。

在这个售猪问题中，我们通常认为猪的生长率g比价格的下降率r更靠谱。如果我们观察了猪或其他类似动物在过去的生长情况，g有25%的误差会是很不寻常的，但对r的估计有25%的误差则不足为奇。

一个数学模型称为有稳健性是指即这么模型不完全精确，由其导出的结果仍是正确的。在实际问题中，我们不会有绝对精确的信息，即使能够建立一个完美的精确的模型，我们也可能采用较简单和易于处理的近似方法。

一个好的数学模型有稳健性，是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，但足够近似从而可以在实际问题中应用。

P = 净收益（美元）

p = 猪的价格（美元/磅）

w = 猪的重量（磅）

t = 时间（天）

让我们来考察售猪问题中的假设，其基本方程

P = pw – 0.45t

如果模型的初始数据和假设没有与实际相差太远，则售出的最佳时间应该由令P‘ = 0得到。

计算后有 p’w + pw’ = 0.45

其中p’w + pw’项代表猪价的增长率。

模型告诉我们，只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂不卖出，继续饲养。

此外，猪的价格改变包括两项：p’w和pw’。

第一项p’w代表因价格下架而损失的价格，第二项pw’代表由于猪增重而增加的价值。

显示中需要使用实际的数值，用模型重新计算。