一、平面直角坐标系:
在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴,构成了平面直角坐标系。
二、知识点与题型总结:
1、由点找坐标:
A 点的坐标记作 A( 2,1 ),规定:横坐标在前, 纵坐标在后。
2、由坐标找点: 例找点 B( 3,-2 ) ?
由坐标找点的方法:先找到表示横坐标与纵坐标的点,然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线,垂线的交点就是该坐标对应的点。
3、各象限点坐标的符号:
① 若点P(x,y)在第一象限,则 x > 0,y > 0 ;
② 若点P(x,y)在第二象限,则 x < 0,y > 0 ;
③ 若点P(x,y)在第三象限,则 x < 0,y < 0 ;
④ 若点P(x,y)在第四象限,则 x > 0,y < 0 。
典型例题:
例1、点 P的坐标是(2,-3),则点P在第 四 象限。
例2、若点P(x,y)的坐标满足 xy﹥0,则点P在第 一或三 象限。
例3、若点 A 的坐标为(a^2+1, -2–b^2) ,则点A在第 四 象限。
4、坐标轴上点的坐标符号:
坐标轴上的点不属于任何象限。
① x 轴上的点的纵坐标为0,表示为(x,0),
② y 轴上的点的横坐标为0, 表示为(0,y),
③ 原点(0,0)既在x轴上,又在y轴上。
例4、点 P(x,y ) 满足 xy = 0, 则点 P 在 x 轴上或 y 轴上。 .
5、与坐标轴平行的两点连线:
① 若 AB∥ x 轴 ,则 A、B 的纵坐标相同;
② 若 AB∥ y 轴 ,则 A、B 的横坐标相同。
例5、已知点 A(10,5),B(50,5),则直线 AB 的位置特点是(A )
A、与 x 轴平行 B、与 y 轴平行 C、与 x 轴相交,但不垂直 D、与 y 轴相交,但不垂直
6、象限角平分线上的点:
① 若点 P 在第一、三象限角的平分线上 , 则 P( m, m );
② 若点 P 在第二、四象限角的平分线上,则 P( m, -m )。
例6、已知点 A(2a+1,2+a)在第二象限的平分线上,试求 A 的坐标。
解:由条件可知:2a+1 +(2+a)=0 ,解得 a = -1 ,
∴ A(-1,1)。
例7、已知点 M(a+1,3a-5)在两坐标轴夹角的平分线上,试求 M 的坐标。
解:当在一、三象限角平分线上时,a+1=3a-5 ,
解得:a=3 ∴ M(4,4)
当在二、四象限角平分线上时,a+1+(3a-5 )=0 ,
解得:a=1 ∴ M(2,-2)
∴M 的坐标为(4,4)或(2,-2)
7、关于坐标轴、原点的对称点:
① 点 (a, b ) 关于 X 轴的对称点是(a , -b );
② 点 (a, b ) 关于 Y 轴的对称点是( -a , b );
③ 点(a, b )关于原点的对称点是( -a , -b )。
例8、已知点 A(3a-1,1+a)在第一象限的平分线上,试求 A 关于原点的对称点的坐标。
解:由条件得:3a-1=1+a 解得:a=1 ,∴ A(2,2),
∴ A 关于原点的对称点的坐标为(-2,-2)。
8、点到坐标轴的距离:
① 点( x, y )到 x 轴的距离是 ∣y∣;
② 点( x, y )到 x 轴的距离是 ∣x∣。
例9、点P到 x 轴、y 轴的距离分别是2,1,则点 P 的坐标可能为 ?
答案:(1,2)、(1,-2)、(-1,2)、(-1,-2) 。
三、知识拓展与提高:
例10、在平面直角坐标系中,已知两点 A(0,1),B(8,5),点 P 在 x 轴上,则 PA + PB 的最小值是多少?
解:作点 A(0,1)关于 x 轴的对称点 A’(0,-1),连接 A’B 与 x 轴交于点 P ,
则 A’B 路径最短,即 PA + PB 最小。
根据勾股定理得:A’B = √[(1+5)^2 + 8^2] = 10 。
∴PA + PB 的最小值是 10 。
例题11、如图所示,△DEF 是由 △ABC 经过某种变换得到的图形。
① 分别写出 A 与它的对应点 D ,B 与它的对应点 E ,C 与它的对应点 F 的坐标 ;
②各对应点的坐标有什么特征?请用语言文字表述出来 ;
③ 经过上述变换后,若 △ABC 内一点 P(1-2a , 1-b)在 △DEF 内的对应点为 P‘(-1,3),试求 a , b 的值 。
参考答案:
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