高中数学特别篇：函数不等式恒成立与能成立讲解

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前 言

在数学的广阔领域中，函数不等式的恒成立与能成立问题是一个重要且具有挑战性的课题。

首先，让我们来理解函数不等式恒成立的概念。当一个函数不等式在其定义域内的所有取值都满足不等式条件时，我们就说这个不等式恒成立。例如，对于常见二次函数因为任何实数的平方都大于等于零，所以我们能得到式子恒大于零，即该不等式恒成立。

接下来谈谈函数不等式能成立。能成立意味着在函数的定义域内，至少存在一个值使得不等式成立。比如说，对于常见二次函数通过求解不等式可得：通过求解方程的根，并结合二次函数的图像，我们可以确定存在一些区间使得不等式能成立。

在解决函数不等式恒成立与能成立问题时，常常需要运用到函数的单调性、极值、最值等性质，以及导数这个强大的工具。通过求导，可以判断函数的单调性和极值点，从而为解决不等式问题提供关键的线索。

总之，函数不等式的恒成立与能成立问题需要我们深入理解函数的性质，灵活运用数学方法和技巧，才能准确而高效地解决。

下面，让我们详细介绍一下：

单变量不等式恒成立问题

一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

函数不等式恒成立在高中数学的重要性

1、数学基础的核心内容

函数和不等式是高中数学的基础内容，它们不仅在数学内部有着广泛的应用，如数列、导数、微积分等，还是物理、化学、经济学等其他学科的重要工具。

函数不等式恒成立问题，作为函数和不等式知识的交汇点，是检验学生综合运用数学知识能力的重要题型。

2、培养逻辑思维和抽象能力

解决函数不等式恒成立问题，需要学生具备严密的逻辑思维和较强的抽象能力。

这类问题通常涉及对函数性质的深入理解，如单调性、最值、奇偶性等，以及不等式的变换和求解技巧。

通过解决这类问题，学生可以锻炼自己的思维能力和解题技巧，提高数学素养。

3、高考和竞赛的重点

在高考数学中，函数不等式恒成立问题是常见的压轴题之一，其难度和分值都相对较高。

在数学竞赛中，这类问题也是考察学生数学能力和思维水平的重要题型。

因此，掌握函数不等式恒成立问题的解题方法和技巧，对于提高高考成绩和参加数学竞赛都具有重要意义。

4、实际应用的价值

函数不等式恒成立问题不仅具有理论价值，还具有实际应用价值。

在实际问题中，如工程优化、经济决策、物理模型等，经常需要用到函数不等式来描述和求解问题。

掌握这类问题的解决方法，有助于学生将数学知识应用于实际问题，提高解决实际问题的能力。

5、提升数学兴趣和自信心

解决函数不等式恒成立问题可以带来一定的挑战性和成就感，从而激发学生的学习兴趣和自信心。

当学生成功解决一个复杂的问题时，他们会感到自己的数学能力和思维水平得到了提升，从而更加热爱数学并愿意投入更多的时间和精力去学习。

双变量不等式与等式

1、不等关系

一般地，已知给函数

2、相等关系

一般地，已知给函数其中值域为其中值域为

函数不等式恒成立与能成立在高考中的价值取向

1、考查学生的基础知识掌握情况

高考作为选拔性考试，旨在全面考查学生的知识掌握程度和应用能力。函数不等式恒成立与能成立问题涉及函数、不等式等多个高中数学的核心知识点，是检验学生基础知识掌握情况的重要途径。通过这类问题，可以考查学生对函数性质（如单调性、最值、奇偶性等）的理解程度，以及对不等式变换和求解技巧的掌握情况。

2、检验学生的逻辑思维和解题能力

函数不等式恒成立与能成立问题通常涉及复杂的逻辑推理和数学运算，需要学生具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。这类问题要求学生能够准确理解题意，合理分析条件，通过逻辑推理和数学运算得出正确的结论。因此，高考中设置这类问题，有助于检验学生的逻辑思维和解题能力，选拔出具备较高数学素养的学生。

3、体现高考命题的灵活性和创新性

高考命题注重灵活性和创新性，旨在考查学生的应变能力和创新能力。函数不等式恒成立与能成立问题通常具有多种解法，需要学生根据具体情况选择最合适的解题策略。这类问题不仅考查学生的数学知识和解题技巧，还考查学生的创新思维和解决问题的能力。因此，高考中设置这类问题，有助于体现高考命题的灵活性和创新性，促进学生的全面发展。

4、实际应用的价值导向

函数不等式恒成立与能成立问题不仅具有理论价值，还具有实际应用价值。在现实生活中，许多实际问题都可以转化为函数不等式问题来求解。例如，在经济学中，可以通过函数不等式来描述和分析市场供需关系；在物理学中，可以通过函数不等式来描述和分析物体的运动状态等。因此，高考中设置这类问题，有助于引导学生关注数学的实际应用，培养学生的应用意识和实践能力。

以下是相关练习题目（有需要的请收藏）