七下数学：平行线拐点模型的通用解法

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一、前言

三年前也曾写过关于平行线拐点模型的文章，当时侧重于一题多解，如今再次执教初一，却又有了不同的感悟。

在教授许多知识时，老师们都认为这个知识很简单，甚至于很多学生也认为自己一下就学会了，但事实上，绝大部分学生的掌握能力都很有限。对于普通学生来说，即使是一些最基础的知识，也是需要不断重复、反复训练才能学会的。

人们认识事物往往总是从自身角度出发，现如今一线执教的老师，初中时大部分都是班里的佼佼者，又经过了层层筛选才走上了工作岗位，大部分学生的资质是达不到这个水平的，这就导致了期望与实际的偏差。而从学生角度来讲，能看懂、听懂并不意味着自己已经掌握，是需要不断练习甚至重复才能加以巩固，并最终掌握的。

回到平行线拐点模型，这个知识点在这一章其实是一个难点，无论是本章还是期中、期末试卷，很多压轴题都是考的这个知识点。一个较难的知识点，如果同时教授好几种方法，学生总体掌握度其实是较差的，反而不如“一招鲜，吃遍天”，在掌握通用解法的基础上，再去尝试一题多解，则会起到事半功倍的效果。

二、什么是拐点模型？

拐点模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

1、点在平行线中间

2、点在平行线外

最常见的拐点模型是①③⑤⑦，尤其①③更是常见，分别叫做猪蹄模型和铅笔模型。

三、拐点模型的通用解法与基本思路

通用解法：过拐点作平行线，基本思路：和差拆分与等角转化。

1、和差拆分：过拐点作平行线后，拐角就可以用角的和差来表示。如果平行线在角的内部，则拐角可表示为两个角的和；如果平行线在角的外部，则拐角可表示为两个角的差。

2、等角转化：平行线模型都具有等角转化功能，可用同位角、内错角或同旁内角来等量表示。

四、例题

下面以模型②⑥为例，具体解释一下。

例1、如图，AB//CD，试猜测∠AOD与∠A和∠D的关系并证明。

分析：如图，首先过拐点作平行线OE，则∠AOD可通过和差拆分转化为角的和∠1+∠2，然后利用平行线的等角转化，∠1表示为∠A，∠2表示为180°-∠D，∴∠AOD=∠A+180°-∠D

解答：

∠AOD=∠A-∠D+180°，理由如下：

过点O作OE//AB

∵OE//AB（辅助线做法）

∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）

∵OE//AB（辅助线做法），AB//CD（已知）

∴OE//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）

∴∠2=180°-∠D（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠AOD=∠1+∠2=∠A-∠D+180°（等量代换）

例2、如图，AB//CD，试猜测∠AOD与∠A和∠D的关系并证明。

分析：同例1类似，首先过拐点作平行线OE，所不同的是，因为本题辅助线在∠AOD的外部，所以和差拆分转化为了角的差∠EOA-∠EOD，然后再利用平行线的等角转化，∠EOA转化为180°-∠A，∠EOD转化为∠D，∴∠AOD=180°-∠A-∠D.

解答：

∠AOD=180°-∠A-∠D，理由如下：

过点O作OE//AB

∵OE//AB（辅助线做法）

∴∠EOA=180°-∠A（两直线平行，同旁内角互补）

∵AB//CD（已知），OE//AB（辅助线做法）

∴OE//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.

∴∠EOD=∠D（两直线平行，内错角相等）

∴∠AOD=∠EOA-∠EOD=180°-∠A-∠D（等量代换）

五、小结

1、练好基本功，贪多嚼不烂

一题多解的确可以培养学生的发散思维，但前提是基础要牢，应首先掌握常用方法的多解归一，否则即使方法再多，也不过是花拳绣腿、空中楼阁。事实上，中考阅卷中发现，有很大比例的学生证明题过程都是乱写的，即使是简单题，就像某位同事所说“不要把他们想的太聪明，差得远呢！”

2、书写要规范，证明过程要有理有据

拐点问题学生出错很多，有辅助线描述乱写的，有直接利用拐点结论的，有由OE//AB直接得到OE//CD的，胡乱省略、跳步，证明过程上下不存在因果关系等等。

3、教师应多从学生角度考虑问题

对于普通学校的绝大部分学生，学生学习能力其实是极其有限的，不能把他们想的太高。