「隐私计算笔谈」MPC系列专题（四）：GMW协议和BGW协议

GMW协议

GMW协议由Goldreich等人提出，基于混淆电路（Garbled Circuit），支持多方的半诚实的安全计算协议。和之前所述的姚氏混淆电路估值方案的不同之处在于，GMW混淆电路估值方案不需要使用混淆真值表，因此没用混淆真值表带来的查表和加解密操作，节省了非常大的计算量和通信量。

混淆电路在上次的科普已经介绍过了，在将安全多方计算的目标函数转换为布尔电路后，通过对电路进行混淆（加密）操作来得到混淆电路。

混淆电路通过对电路进行混淆（加密）操作来掩盖电路的输入和电路的结构，以此来实现对各个参与者的隐私信息的保密，再通过电路计算来实现安全多方计算的目标函数的计算。

GMW协议的目标函数由异或门和与门、非门组成。非门的输出值是输入值的反，输入为1则输出为0，反之输入为0则输出为1。与门的真值表如下图所示：

异或门及其真值表

异或门及其真值表如下图所示：

与门及其真值表

首先介绍GMW协议的两方情况。首先假设参与者为Alice 和Bob，Alice和Bob的输入均为长为n的比特串，其中 Alice输入为比特串，Bob的输入为比特串b。

对于比特串中的每个比特，Alice都产生一个随机的比特∈ {0,1},1≤≤，并将这n个随机产生的比特,1≤≤发送给Bob。

对于比特串中的每个比特，Bob也都产生一个随机的比特∈ {0,1},1≤≤，并将这n个随机产生的比特发送给Alice。Alice和Bob分别将和、、作为协议输入和b的子秘密。

即Alice掌握了和b的子秘密，Bob掌握了和b的子秘密和，。

若Alice公开其所掌握的和，Bob公开其所掌握的和，那么Alice和Bob可以共同计算出。

接着Alice和Bob对布尔电路中的每个门求值，直至完成整个电路的计算。对于非门，由于非门是单输入的，Alice和Bob间无须进行交互，因此直接对输入求反即可。

对于异或门，假设异或门的输入分别为和b，Alice掌握了和b的子秘密和，Bob掌握了和b的子秘密和，因为：

因此Alice和Bob可以在本地对其所掌握的子秘密进行计算，

对于与门，因为，因此Alice和Bob无法只在本地完成与门的计算。

因为Alice手中有，因此Alice可以本地计算。Bob 手中有，因此Bob可以本地计算。剩下的和二者必须协同完成。

的计算可通过四选一不经意传输协议完成。对于Alice来说，Bob掌握的和都是单比特值，只有四种情况：

Alice手中又有和，因此Alice可以直接计算出四种情况下的⋀的值，假设分别为，注意这里⋀的值为的值， 对于Alice和Bob来说式子里都只有两个未知数，而这两个未知数一共只有4种可能。

Alice的未知数为和，Alice可以假设()分别为(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)，那么根据假设的四种情况，就都确定了，可以据此计算出四个确定的值。因此Alice可以得到下表：

Alice 再产生一个随机比特，并将计算出的异或上随机比特，将为四选一不经意传输协议的输入，Bob将其所掌握的作为四选一不经意传输协议的输入，双方执行该OT协议，Bob得到对应的。

Alice将作为该与门的输出的子秘密，Bob将作为该与门的输出的子秘密。

由于Alice和Bob双方间执行的是不经意传输协议，Alice不知道Bob 在中选择了哪个，保证了依旧对Alice保密。

又由于Alice发送的是，Bob不知道随机比特的值，也就不知道的到底是1还是0，只有在最后双方都公布各自手中的计算结果，双方才能合力计算出正确的结果。

这里Bob得到的子秘密异或上Alice得到的子秘密即为⋀的值。

将GMW协议扩展到多方情况下：参与者为，假设输入为m个比特，那么每个参与者产生组，每组−1个随机比特，分别将每组的−1个随机比特发送给除了自己之外的n-1个参加者。

假设输入数据为1个比特，那么每个参与者向参与者发送,1≤≤且≠。在所有参与者发送完成后，参与者掌握了。假设的输入为，那么将作为的子秘密。

对应的收到发送的随机比特的参与者，将当做秘密的子秘密。因此。

对于异或门以及非门，和双方情况下相同，每个参与者直接在本地进行计算即可。对于与门，与门的输入为和b，参与者手中掌握了和b的子秘密和，因为，可得：

这其中，对于来说，每个都可由在本地进行计算。而对于,≠，可由参与者和通过上述的两方BGW协议共同计算出的两个子秘密。当电路计算完成，每个参与者公布自己所掌握的子秘密，再将所有的子秘密进行异或，即可得到最后的计算结果。

BGW协议

BGW协议也是支持多方的安全计算协议，BGW协议基于Shamir(t, n)门限秘密共享机制，利用了Shamir秘密共享机制的加法同态和乘法同态的性质。Shamir(t, n)门限秘密共享机制在之前的科普已经进行过介绍了。

假设BGW协议的参与者一共有n人，假设参与者需要输入秘密，则参与者首先利用Shamir(t,n)门限秘密共享机制将秘密共享给其他所有参与者，阈值t的选择根据具体使用情景下的安全性要求决定。

当所有参与者的输入都通过Shamir(t, n)门限秘密共享机制分享后，每个参与者都掌握了协议输入的子秘密。假设一个门的输入分别为和，秘密和已经分别由秘密分配函数

分配完成，，参与者掌握和b的子秘密。在布尔电路上，可将异或门和与门分别看成在有限域2上的加法和乘法。将异或用模为2的加法进行计算，与用模为2的乘法进行计算。

对于异或门：由于Shamir具有加法同态性，因此

假设，则，而和都由掌握，因此可以本地计算出。当所有计算完成后，每个参与者公布自己计算出的， 即可恢复出和。

对于与门，和之前叙述过的基于Shamir(t, n)门限共享机制的多方乘法计算相同，只是BGW是在有限域2上。每个参与者计算，接着每个独自选取次数为t次的随机多项式，且满足,1≤≤，</2。

向各个参与者分配，且,1≤,≤。所有参与者分配结束后，掌握了信息，同时再利用公开的重组向量1,…,，计算。

此时掌握的子秘密即为的子秘密。当所有计算完成后，每个参与者公开自己的子秘密，再根据之前叙述的Shamir(t, n)门限秘密重构算法即可获得。