高等数学——讲透求极限两大方法，夹逼法与换元法

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今天的文章聊聊高等数学当中的极限，我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限，大家应该都非常熟悉。

大部分比较简单的函数或者数列，我们可以很直观地看出来它们的极限。比如1/n，当n趋向于无穷大的时候，1/n 的极限是0，再比如当n趋向于无穷大的时候，n的平方的极限也是无穷大，等等。

但是对于一些相对比较复杂的函数，我们一时之间可能很难直观地看出极限，因此需要比较方便计算极限的方法，今天的文章介绍的正是这样的方法——夹逼法和换元法。

夹逼法在数学领域其实非常常用，在中学的竞赛当中经常出现。夹逼法的原理非常简单：

对于某一个函数f(x)，我们知道它的表达式，但是很难确定它的范围。我们可以先找到另外两个范围比较容易确定的函数g(x)和h(x)，然后证明:

通过h(x)和g(x)的范围来夹逼f(x)的范围。

说白了，就是直接求解不方便的函数，我们通过用其他容易计算的函数来替代的方法来间接求解，类似于“曲线救国”。

明白了夹逼法的概念之后，我们再来看一下它在数列极限当中的应用。

假设当下存在数列 {xn} 我们需要确定它的极限，我们找到了另外两个数列 {yn} 和 {zn}。如果它们满足以下两个条件：

那么，数列 {xn} 的极限存在，并且:

从直觉上来看，上面的式子应该非常直观，但是我们还是试着从数学的角度来证明一下，顺便回顾一下极限的定义。

证明过程如下：

根据极限的定义，对于数列 {xn} 而言，对于任意ϵ都存在 n0 > 0，使得对于任意：n > n0，都有:

那么就称数列 {xn} 的极限是a。

由于数列 {yn} 的极限是a，所以存在 n1 使得 n > n1 时:

同理，存在 n2 使得 n > n2时:

那么对于 n > max(n1, n2) 显然应该有：

并且

我们将绝对值展开，可以得到：

根据极限的定义，显然可以得到数列 {xn} 的极限也是a。

我们利用这个方法来看一个书上的例子：

我们都知道当x趋向于0的时候，x和sinx都趋向于0，但是 sinx/x 的极限是多少呢？如果猜测一下，两个无穷趋向于0的极限的比值应该是1才对，但是这个只是我们的直观猜测，想要严格证明，还需要使用数学方法。

这个证明就用到了我们刚才说的夹逼法，并且非常巧妙，让我们来看一张下面这张图。

我们假设夹角∠AOB=x，这里采用弧度制。我们令圆心OB的长度等于1，那么BC=sinx，OC=cosx，AD=tanx。我们下面要用这张图里的三角形面积关系，显然：

三角形AOB的面积等于 1/2 * OA * BC = 1/2 sinx，三角形AOD的面积等于 1/2 * OA * AD = 1/2 tanx。

这两个都很容易得出，直接套用三角形面积公式即可。扇形的面积看起来麻烦一些，但其实也很简单，在几何当中，扇形可以看成是特殊的三角形。我们把弧长看成是底面，半径可以看成是高，那么扇形的面积等于 1/2*弧长*半径 。所以扇形AOB的面积等于 1/2 * x * 1 = x/2 。

我们列出来，可以得到：

即：

其中

所以我们可以不等号两边同时除以sinx，得到：

由于当x趋向于0的时候sinx, cosx都大于0，所以我们可以对不等式互换分子分母，得到：

到这里已经结束了，因为我们根据余弦的函数图像可以很容易看出来，当x趋向于0的时候，cosx趋向于1.但为了严谨起见，我们当做不知道这点，继续用数学的方法证明：

我们来计算当x趋向于0的时候，1−cosx的取值范围，当x趋向于0的时候cosx<1，所以1−cosx>0。我们再对1−cosx变形，这里要引入三角函数当中的和差化积公式：

由于cos0=1，带入和差化积可以得到：

我们之前通过面积表示的方法已经证明了当x趋向于0的时候sinx<x，所以

当x趋向于0的时候，显然x^2也趋向于0，所以我们可以证明 cosx 的极限是1。

我们接着来看换元法，在书里被称为复合函数的极限运算法则。假设我们有y=f[g(x)]，我们令u=g(x)。如果

并且

并且在x趋向于x0时，有g(x)≠u0，那么：

我们使用极限的定义同样可以很方便地证明它的正确性，这里就不证明了，感兴趣的同学可以试着证明一下。

了解了符合函数的极限运算法则之后，我们再来看一个例子巩固一下。

和上面的例子类似，我们这次求一下:

和上面那题一样，我们先使用和差化积对极限的分子进行变换，可以得到：

如果通过极限本身的定义来计算这个式子还是蛮复杂的，很难直观地获得答案。这个时候就需要用上换元法了，那么这个极限就可以转化成复合函数极限了。我们令 u = x/2 ，f(u) = sinu/u。因为当x趋向于0的时候，u也趋向于0，当u趋向于0的时候，f(u) 趋向于1，所以最终的极限就是1。

通过夹逼法和换元法，我们可以很方便地求解一些看起来比较棘手的极限。这也是我们求极限的过程当中使用非常频繁的方法。虽然上文当中的公式看起来有些比较麻烦，但是方法本身并不难，只要沉下心来，一定可以看明白的。

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参考资料

同济大学《高等数学》第六版

程序员的数学