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zx微积分：一种新的量子计算语言

量子计算是一种利用量子力学原理进行信息处理的技术，它有望在某些问题上超越传统的经典计算，比如素数分解、搜索、优化、机器学习等。然而，量子计算也面临着很多挑战，其中之一就是如何有效地描述和设计量子算法和量子电路。目前，大多数量子计算的编程语言都是基于线性代数的矩阵表示法，这种方法虽然数学上严格，但是在直观性、可读性、可组合性和可扩展性方面都有不足。为了解决这些问题，近年来出现了一些基于图形化的量子计算语言，其中最具代表性的就是zx微积分。

zx微积分是一种基于图论和范畴论的量子计算语言，它由Bob Coecke和Ross Duncan于2008年提出，旨在提供一种简洁、直观、通用和完备的量子计算框架。zx微积分的基本元素是zx图，它由两种类型的节点（红色和绿色）和三种类型的边（普通、带箭头和带圆圈）组成。每个节点表示一个量子比特（qubit），每条边表示一个线性映射（linear map）。zx图可以用来表示任意的量子态、量子操作和量子测量，而且可以通过一系列的图形变换规则（rewriting rules）来进行简化、优化和等价变换。

zx微积分的数学形式是基于图论和范畴论的，它可以用矩阵来表示量子态和量子操作。下面是一些zx图和它们对应的矩阵表示的例子：

• 一个红色节点（red spider）表示一个Z旋转门（Z-rotation gate），它的矩阵形式是：

• 一个绿色节点（green spider）表示一个X旋转门（X-rotation gate），它的矩阵形式是：

• 一个黄色节点（yellow box）表示一个Hadamard门（Hadamard gate），它的矩阵形式是：

• 两个相同颜色的节点之间的一条边（plain edge）表示一个张量积（tensor product），它的矩阵形式是：

• 两个不同颜色的节点之间的一条边（dashed edge）表示一个内积（inner product），它的矩阵形式是：

• 两个相同颜色的节点之间的多条边（multiple edges）表示一个幂运算（power operation），它的矩阵形式是：

• 一个带箭头的边（pointed edge）表示一个伴随运算（adjoint operation），它的矩阵形式是：

• 一个带圆圈的边（looped edge）表示一个迹运算（trace operation），它的矩阵形式是：

图片来源：https://arxiv.org/pdf/2012.13966.pdf#page=86&zoom=100,113,113

zx微积分的优点有以下几点：

• 它可以直观地展示量子计算的物理过程，比如纠缠、相干、测量等。
• 它可以方便地构造和组合复杂的量子电路，比如通用的Clifford+T电路。
• 它可以有效地进行量子电路的优化和简化，比如消除冗余的门和测量。
• 它可以自然地兼容经典计算，比如通过引入经典控制节点（white nodes）和经典通信边（dashed edges）。
• 它可以灵活地扩展到更高维度的量子系统，比如通过引入彩色节点（colored nodes）和彩色边（colored edges）。

目前，zx微积分已经成为了量子计算领域的一个活跃的研究方向，它已经被应用到了多个领域，比如量子错误纠正、量子编译、量子机器学习、量子密码学等。同时，也有很多工具和平台支持zx微积分的编程和模拟，比如PyZX、Quantomatic、ZoMBe等。随着量子计算技术的发展，zx微积分有望成为一种新的量子计算语言标准，为未来的量子软件工程带来新的可能性。