数学归纳法在逻辑上真的严密吗？

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我们都学习过数学归纳法，这种方法一般用于证明和正整数n相关的等式。数学归纳法的具体步骤如下：

1.验证当n=1时，等式成立；

2.假设当n=k时，等式也成立；

3.利用假设，证明当n=k+1时，等式依然成立。

从而证明对于所有正整数n，等式恒成立。

我们先来看一个简单的例子，我们都知道正整数前n项和公式，利用等差数列求和公式很容易得到：

1+2+3+……+n=[n×(n+1)]/2

接下来，我们用数学归纳法来证明这个结论。

证明：

1.当n=1时

左边=1

右边=[1×(1+1)]/2=(1×2)/2=2/2=1

左边=右边，等式成立

2.假设当n=k时，等式也成立，即：

1+2+3+……+k=[k×(k+1)]/2

3.当n=k+1时

左边=1+2+3+……+k+(k+1)

=(1+2+3+……+k)+(k+1)

=[k×(k+1)]/2+(k+1)

={[k×(k+1)]+2(k+1)}/2

=[(k+1)×(k+2)]/2

右边={(k+1)×[(k+1)+1]}/2

=[(k+1)×(k+2)]/2

左边=右边，等式依然成立

所以，对所有n∈N*，都有

1+2+3+……+n=[n×(n+1)]/2

证毕！

这个证明过程真是太美妙了，令人赏心悦目。

那么问题来了，这种证明方法在逻辑上真的严密吗？我们在第二步假设当n=k时等式成立，而第三步利用了这个假设的结论，一个假设的结论能够用来证明结论吗？

答案是肯定的，数学归纳法在逻辑上完全严密！

我们可以换一个思维方式，这就好比修建一座无限层高的大厦。n=1成立说明第一层地基打得很牢固。接下来我们证明了如果n=k成立，则必有n=k+1成立。也就是说：如果第k层修好了，那么下一层第k+1层就肯定能够修好。

我们再回到第一层，由于第一层已经修好了，所以第二层肯定能够修好；由于第二层已经修好了，所以第三层肯定能够修好；由于第三层已经修好了，所以第四层肯定能够修好……，以此类推，那我们就可以得到每一层都肯定能够修好，也就证明了等式对所有正整数都成立。

接下来我们再来感受一下数学归纳法的神奇之处，我们来证明正整数的平方和公式。

1^2+2^2+3^2+……+n^2=[n×(n+1)×(2n+1)]/6

注意到自然数的平方数列并不是我们所熟知的等差或等比数列，不能直接用公式计算出前n项和。但我们现在只需要去证明这个结论，这个时候数学归纳法就派上用场了。

证明：

1.当n=1时

左边=1^2=1

右边

=[1×(1+1)×(2×1+1)]/6=(1×2×3)/6=6/6=1

左边=右边，等式成立

2.假设当n=k时，等式也成立，即：

1^2+2^2+3^2+……+k^2=[k×(k+1)×(2k+1)]/6

3.当n=k+1时

左边=1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2

=(1^2+2^2+3^2+……+k^2)+(k+1)^2

=[k×(k+1)×(2k+1)]/6+(k+1)^2

=[k×(k+1)×(2k+1)+6(k+1)^2]/6

={(k+1)×[k×(2k+1)+6(k+1)]}/6

=[(k+1)×(2k^2+k+6k+6)]/6

=[(k+1)×(2k^2+7k+6)]/6

=[(k+1)×(k+2)×(2k+3)]/6

右边={(k+1)×[(k+1)+1]×[2(k+1)+1]}/6

=[(k+1)×(k+2)×(2k+3)]/6

左边=右边，等式依然成立

所以，对所有n∈N*，都有

1^2+2^2+3^2+……+n^2=[n×(n+1)×(2n+1)]/6

证毕！

这里需要强调的是，再运用数学归纳法时，必须利用到假设n=k时成立的结论来证明n=k+1时等式同样成立。我在上面证明的过程已经把这个关键步骤标粗了出来。

接下来新的问题来了，数学归纳法只能够用来证明一个等式，那能不能用它来求出一个通项公式呢？其实在一些特殊的情况下是可以的，这就需要运用到不完全归纳法，俗称“猜想大法”。我们可以通过有限项的结果来寻找规律，再猜想通项公式，再运用数学归纳法严格证明结论。

我们来讨论一下正整数的立方和公式

1^3+2^3+3^3+……+n^3=？

1^3=1=1^2

1^3+2^3=1+8=9=3^2=(1+2)^2

1^3+2^3+3^3=1+8+27=36=6^2=(1+2+3)^2

1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64=100=10^2=(1+2+3+4)^2

…………

通过前四项的分析，我们发现了非常美妙的规律，我相信这种规律一定不是偶然的，我们完全可以大胆地猜想：

1^3+2^3+3^3+……+n^3=(1+2+3+……+n)^2

接下来我们再用数学归纳法严格证明这个结论

证明：

1.当n=1时

左边=1^3=1

右边=1^2=1

左边=右边，等式成立

2.假设当n=k时，等式也成立，即：

1^3+2^3+3^3+……+k^3=(1+2+3+……+k)^2

3.当n=k+1时

左边=1^3+2^3+3^3+……+k^3+(k+1)^3

=(1^3+2^3+3^3+……+k^3)+(k+1)^3

=(1+2+3+……+k)^2+(k+1)^3

右边=[1+2+3+……+k+(k+1)]^2

=[(1+2+3+……+k)+(k+1)]^2

=(1+2+3+……+k)^2+2×(1+2+3+……+k)×(k+1)+(k+1)^2

=(1+2+3+……+k)^2+2×{[k×(k+1)]/2}×(k+1)+(k+1)^2

=(1+2+3+……+k)^2+k×(k+1)^2+(k+1)^2

=(1+2+3+……+k)^2+(k+1)^2×(k+1)

=(1+2+3+……+k)^2+(k+1)^3

左边=右边，等式依然成立

所以，对所有n∈N*，都有

1^3+2^3+3^3+……+n^3=(1+2+3+……+n)^2

证毕！