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引言

本文分享一道看似简单，但超级困难的数学题，适合高中学历的读者。

问题

集合有多少个子集，其元素之和是的倍数 ？

分析

这道题看似只是小学初中的计数问题，但事实上用普通的排列组合方法是无法求解的。

我们记记为的子集中元素之和等于的个数，记为的子集中元素之和是的倍数的个数。我们要求的是.

为了方便读者阅读，我们引入求和符号以及求积符号：

我们考虑这样一个神奇的多项式：

我们将这个多项式展开，就能发现，对于的任意一个子集，展开式中必然存在一项，反之亦然，从而由的定义可知，展开式中的系数为，也即

这是本题最大的突破口。那么在接下来的过程中，我们需要用到以下的几条引理。

令，那么

引理 1 :

引理 2 :

其中的表示，当时取，当时取

引理 1 的证明：

当时，，

当时，通过模的一组完系，则

证毕！

引理 2 的证明：

当时，，

当时，通过模的一组完系，则

考虑到，令即得

证毕！

下面提供本题的详细解答。

解答

由分析中的,,的定义，以及引理可得：

从而共有个子集满足题意。

点评

本题叙述不超过 20 个字，表达的意思也是非常容易能懂，但是很少有人能够做出。本题看似只是涉及正整数，但事实上很难想到将其与复数联系在一起，非常有趣，解法也非常巧妙，适合反复做。