高中数学：每天五个知识点 – 第28天

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今天我们要学习一种特殊的向量“乘法”，它不像数乘那样得到一个向量，而是得到一个实实在在的数字！这个运算叫做向量的数量积（也叫点积），它能告诉我们两个向量方向的“契合度”以及向量的投影信息。

知识点 1：平面向量数量积（点积）的定义 (Definition of Dot Product)

• 通俗解释： 想象两个向量 a 和 b 从同一点出发，它们之间有个夹角 θ。它们的数量积（点积），就是 a 的长度乘以 b 的长度，再乘以它们夹角 θ 的余弦值 (cosθ)。这个结果是一个数（标量），不是向量。
• 定义： 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ ( 0° ≤ θ ≤ 180° )。则向量 a 与 b 的数量积（或点积）定义为：
• a · b = |a| |b| cosθ
• 规定：零向量与任何向量的数量积为 0，即 0 · a = 0。
• cosθ 的作用：
• θ = 0° (同向): cosθ = 1, a · b = |a| |b| (最大)。
• 0° < θ < 90° (锐角): cosθ > 0, a · b > 0 (正数)。
• θ = 90° (垂直): cosθ = 0, a · b = 0。
• 90° < θ < 180° (钝角): cosθ < 0, a · b < 0 (负数)。
• θ = 180° (反向): cosθ = -1, a · b = -|a| |b| (最小)。
• 生活例子： 物理学中的“功”。力 F 作用在物体上，使物体产生位移 s。力 F 做的功 W = F · s = |F| |s| cosθ，其中 θ 是力和位移方向的夹角。只有当力的方向和位移方向有“分量重合”时，才做功。垂直时（cos90°=0）不做功。
• 计算例题： 已知 |a| = 4, |b| = 5，a 与 b 的夹角为 60°。求 a · b。
• 答： a · b = |a| |b| cos60° = 4 * 5 * (1/2) = 10。

知识点 2：数量积的几何意义 – 投影 (Geometric Meaning: Projection)

• 通俗解释： 向量 b 在向量 a 方向上的“影子”的长度（带有正负号），乘以 a 的长度，就是它们的数量积。这个“影子”长度就叫向量 b 在 a 方向上的投影。
• 几何意义： a · b = |a| * (|b| cosθ)。
• |b| cosθ 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影值 (注意：这是一个数量，可正可负可零)。
• 所以，a · b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上投影值的乘积。
• 生活例子： 太阳光斜着照下来（向量b的方向和强度），你在地上（向量a的方向）的影子的长度（投影值|b|cosθ）就和太阳光的角度有关。
• 计算例题： 接上题，求向量 b 在向量 a 方向上的投影值。
• 答： 投影值 = |b| cosθ = 5 * cos60° = 5 * (1/2) = 2.5。
• (验证：a · b = |a| * (投影值) = 4 * 2.5 = 10，与上题结果一致)。

知识点 3：数量积的坐标运算 (Coordinate Calculation of Dot Product)

• 通俗解释： 如果知道了向量的坐标，计算点积就超级简单了！只需要把它们对应的 x 坐标乘起来，y 坐标乘起来，然后加在一起就行了！
• 公式： 设向量 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)。则：
• a · b = x₁x₂ + y₁y₂
• (推导：利用 a = x₁i + y₁j, b = x₂i + y₂j 以及 i·i=1, j·j=1, i·j=0, j·i=0 展开得到)。
• 特别地： a · a = x₁² + y₁² = |a|² (向量自己和自己的点积等于模的平方)。
• 生活例子： 在游戏编程中，判断两个物体（比如玩家视野和敌人方向）的相对朝向，经常用它们方向向量的点积来计算。坐标运算非常高效。
• 计算例题： 已知 a = (1, -2)，b = (3, 4)。求 a · b。
• 答： a · b = (1 * 3) + ((-2) * 4) = 3 + (-8) = -5。

知识点 4：数量积的运算定律 (Properties of Dot Product)

• 通俗解释： 点积运算也满足一些我们熟悉的运算规则。
• ⭐ 运算定律：
• 交换律： a · b = b · a
• 数乘结合律： (λa) · b = λ(a · b) = a · (λb)
• 分配律： (a + b) · c = a · c + b · c
• 注意： 数量积不满足结合律！即 (a · b) · c 不一定等于 a · (b · c) (因为 a · b 是一个数，数再点乘向量 c 意义不同)。也没有消去律。
• 计算例题： 计算 (2a – b) · (a + 3b)，已知 |a|=1, |b|=2, a与b夹角为120°。
• 答： 先用分配律展开：
• = (2a)·a + (2a)·(3b) – b·a – b·(3b)
• = 2(a·a) + 6(a·b) – (b·a) – 3(b·b)
• = 2|a|² + 6(a·b) – (a·b) – 3|b|² (利用交换律)
• = 2|a|² + 5(a·b) – 3|b|²
• 计算 a·b = |a||b|cos120° = 1 * 2 * (-1/2) = -1。
• 代入：= 2(1)² + 5(-1) – 3(2)² = 2 – 5 – 3(4) = 2 – 5 – 12 = -15。

知识点 5：利用数量积判断向量垂直 (Using Dot Product to Determine Perpendicularity)

• 通俗解释： 数量积最最常用的一个性质就是：如果两个非零向量互相垂直（夹角90°），它们的点积一定等于0！反过来，如果它们的点积等于0，那么它们一定互相垂直。
• 充要条件： 对于两个非零向量 a 和 b：
• a ⊥ b 等价于 a · b = 0
• 坐标形式： 若 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂) (均非零向量)，则：
• a ⊥ b 等价于 x₁x₂ + y₁y₂ = 0
• 生活例子： 在建筑或工程制图中，要判断两条线是否垂直，可以通过计算它们方向向量的点积是否为零来快速验证。
• 计算例题： 已知向量 m = (k, 1)，n = (3, -6)。若 m ⊥ n，求实数 k 的值。
• 答： 因为 m ⊥ n，所以 m · n = 0。
• (k * 3) + (1 * (-6)) = 0
• 3k – 6 = 0
• 3k = 6
• k = 2。

练习题：

1. 已知 |p| = 3, |q| = 6，p 与 q 的夹角为 135°。求 p · q。
2. 已知 a = (2, 5), b = (-1, 3)。求向量 a 在向量 b 方向上的投影值。（提示：投影值 = a · b / |b|）
3. 求向量 u = (-3, 4) 与 v = (8, 6) 的数量积。
4. 已知 |a| = 2, |b| = 1, a · b = -1。求 |a – 2b|。（提示：|X|² = X · X）
5. 已知点 A(1, 0), B(4, 2), C(k, 3)。若 vec{AB} ⊥ vec{BC}，求 k 的值。

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