高中数学：每天五个知识点 – 第34天

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昨天我们学会了如何判定一条直线垂直于一个平面，今天我们来看看线面垂直之后会带来哪些重要的“福利”（性质），以及如何判定两个平面是互相垂直的。

知识点 1：直线与平面垂直的性质定理 (1) – 线面垂直 => 线线垂直

• 通俗解释： 一旦我们知道了直线 l 垂直于平面 α (就像旗杆垂直于地面)，那么这条直线 l 就一定垂直于平面 α内的任何一条直线 m，不管这条线 m 过不过垂足！
• 定理： 如果一条直线 l 垂直于一个平面 α，那么这条直线垂直于平面 α 内的任意一条直线 m。
• l ⊥ α
• m ⊂ α
• 那么 l ⊥ m。
• 记忆口诀： “线面垂直，则线垂直于面内任一直线”。
• 作用： 这是由线面垂直推导出线线垂直的最常用方法，是证明两条直线垂直的重要途径。
• 生活例子： 旗杆垂直于地面，那么旗杆就垂直于地面上画的任何直线，比如跑道线、球场边界线等等。
• 计算例题 (应用思路)： 在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知 AA₁ ⊥ 平面 ABCD (已证或已知)。求证：AA₁ ⊥ BC。
• 证明： 因为 AA₁ ⊥ 平面 ABCD，且直线 BC 在平面 ABCD 内 (BC ⊂ 平面 ABCD)，根据线面垂直的性质定理，可得 AA₁ ⊥ BC。

知识点 2：直线与平面垂直的性质定理 (2) – 垂线性质

• 通俗解释： 关于垂线，还有两个重要的唯一性结论：
• 过空间中一点，有且只有一条直线垂直于一个已知平面。
• 过空间中一点，有且只有一个平面垂直于一条已知直线。
• 定理要点：
• 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。(a ⊥ α, b ⊥ α => a // b)
• 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。(a // b, a ⊥ α => b ⊥ α)
• 作用： 用于判断直线间的平行关系，或者传递线面垂直关系。
• 生活例子：
• 盖房子时，立的柱子都要求垂直于地基（同一个平面），那么这些柱子理论上就应该是互相平行的。
• 如果一根标杆垂直于地面，那么所有与它平行的标杆也都垂直于地面。

知识点 3：点到平面的距离 (Distance from a Point to a Plane)

• 通俗解释： 一个点到一个平面的距离，指的是从这个点向平面作垂线，这个垂线段的长度。这是点到平面所有连线中最短的那条。
• 定义： 从平面外一点 P 向平面 α 作垂线，垂足为 O，则线段 PO 的长度叫做点 P 到平面 α 的距离。
• 求法：
• 直接法： 找到（或作出）垂线段，然后在某个直角三角形中计算其长度（通常需要利用勾股定理或三角函数）。
• 等体积法： 利用同一个三棱锥的体积可以用不同底面和对应高来计算的原理 (V = (1/3)S₁h₁ = (1/3)S₂h₂)，如果其中一个高（即点到面的距离）未知，但其他量已知或易求，可以建立方程求解。
• 向量法： （后续学习）利用空间向量来计算。
• 生活例子： 飞机在空中某点 P，它到地面 α 的距离就是它的海拔高度（假设地面是水平面），也就是从 P 点向地面作垂线的长度。

知识点 4：平面与平面垂直的定义 (Definition of Perpendicular Planes)

• 通俗解释： 什么叫两个平面互相垂直？想象一下打开的书本，两个封面形成的平面就近似是垂直的。或者墙面和地面。它们的特征是：从一个平面内的一条直线上任意一点向它们的交线作垂线，这条垂线会落在另一个平面内（或者说这条垂线垂直于交线就够了？不，定义更严格）。
• 定义： 如果两个平面 α 和 β 相交于直线 l，在平面 α 内有一条直线 a 垂直于交线 l，并且在平面 β 内也有一条直线 b 垂直于交线 l，而这两条垂线 a 和 b 形成的二面角 (Dihedral Angle, 即它们之间的夹角) 等于 90°，那么就称这两个平面互相垂直，记作 α ⊥ β。
• ⭐ 重要等价定义 (更常用)： 如果一个平面 α 经过另一个平面 β 的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(l ⊥ β, l ⊂ α => α ⊥ β)

知识点 5：平面与平面垂直的判定定理 (Theorem for Determining Plane-Plane Perpendicularity)

• 通俗解释： 要证明两个平面垂直，最常用的方法就是利用上面那个等价定义：只要能证明一个平面里包含了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面就垂直了！
• 定理： 如果一个平面 α 经过（或包含）一条垂直于另一个平面 β 的直线 l，那么这两个平面互相垂直。
• l ⊥ β (线垂直于面β)
• l ⊂ α (线在面α内)
• 那么 α ⊥ β。
• 记忆口诀： “一个面过另一面的垂线，则面面垂直”。
• 作用： 这是证明两个平面垂直的主要方法。步骤通常是：先证明一条线垂直于一个面，再说明这条线在另一个面内。
• 生活例子： 墙面 α 如果包含了一条垂直于地面 β 的直线（比如墙角线或者铅垂线 l），那么这面墙 α 就和地面 β 垂直。
• 计算例题 (应用思路)： 在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知 AA₁ ⊥ 平面 ABCD。求证：平面 ABB₁A₁ ⊥ 平面 ABCD。
• 证明：
• 已知 AA₁ ⊥ 平面 ABCD (线面垂直)。
• 棱 AA₁ 显然在平面 ABB₁A₁ 内 (AA₁ ⊂ 平面 ABB₁A₁)。
• 根据平面与平面垂直的判定定理（一个面 ABB₁A₁ 经过了另一个面 ABCD 的垂线 AA₁），可得平面 ABB₁A₁ ⊥ 平面 ABCD。
• 证毕。

练习题：

1. 若直线 a ⊥ 平面 α，直线 b ⊥ 平面 α，直线 c // a。那么 b 与 c 的位置关系是什么？为什么？
2. 从直线外一点 P 向直线 l 引垂线，垂足为 O，PO=5。若该直线上另一点 Q 到点 P 的距离为 13，求 OQ 的长度。类似地，点到平面的距离与点到平面内其他点的距离有什么关系？（点到平面距离最短）
3. （等体积法思考题）一个三棱锥 P-ABC，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，PA 垂直于底面 ABC，PA=3。求点 C 到平面 PAB 的距离。（提示：V_{P-ABC} = V_{C-PAB}）
4. 如果两个平面相交，那么其中一个平面内的直线是否可能垂直于另一个平面？如果可能，这条直线和交线是什么关系？（可能，这条直线必须垂直于交线）
5. 在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知 AB ⊥ 平面 BCC₁B₁。求证：平面 ABCD ⊥ 平面 BCC₁B₁。

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