一个数学家的学徒生涯

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本文取材于André Weil(安德烈·韦伊)的《一个数学家的学徒生涯》一书, 该书是韦伊的一个回忆录, 文笔优美, 内容丰富. 书中涉及很多数学家, 也有很多评价, 当然有一些不可避免地带有个人感情色彩. 此外我们补充介绍了书中涉及的数学家的简略生平(大部分材料来自于MacTutor).安德烈·韦伊是一位法国数学家，研究代数几何和数论. 韦伊在将数论和代数几何结合起来方面的工作成果丰硕. 他对拓扑学、微分几何和复解析几何也做出了重大贡献, 揭示了这些领域之间的基本关系. 韦伊与Henri Cartan、Claude Chevalley等人一起创立了Bourbaki学派, 他们试图对数学进行统一的描述. 韦伊因其出色的数学成就而获得许多荣誉, 包括1959年伦敦数学学会荣誉会员资格和1966年伦敦皇家学会院士选举. 此外, 他还被选入巴黎科学院和美国国家科学院. 1979年, 韦伊被授予沃尔夫奖, 次年, 美国数学学会授予他斯蒂尔奖.中学André Weil(安德烈·韦伊)1906年出生于法国巴黎, 他的父亲是一名医生, 母亲虽然是一名家庭主妇, 但也接受过优秀的文学和音乐的教育. Weil在四五岁就认字了, 他妈妈带着他和他妹妹散步的时候，会教给他辨认商店的招牌上的字.1912年Weil在蒙田中学上小学. 当时的蒙田中学包括小学阶段和初中阶段的教育. 法国中学的年级名是倒数的. 在Weil那个年代, 小学共五年: 按时间递进分别是十一年级、十年级、九年级、八年级、七年级. 之后进入四年制初中: 六年级、五年级、四年级、三年级. 高中三年: 二年级、一年级、毕业班. 在校期间由于学习成绩优异, Wei没有上九年级, 直接跳级升到了八年级. 八年级的语法老师Monbeig是一位杰出的老师, 充满了新奇的想法, 他为了分析语法, 自己发明了一套代数符号系统. Weil认为这种在逻辑符号上的早期实践对于日后成为数学家的他来说具有很大的教育价值. 与现在让孩子从小通过学习集合、双射、基数等概念为数学研究做准备相比, Weil认为通过学习Monbeig先生式的语法分析, 为自己的数学研究做的准备也毫不逊色.1914年, 战争降临, Weil的父亲成为预备军医, 在一系列军队医院服务. Weil全家都跟随着父亲, 这导致1914年至1916年期间, Weil只能以函授的形式上课. 1915年大人们为Weil订阅了《初等数学杂志》, 这个期刊主要刊登从三年级起各种难度的数学问题, 编辑们会把收到的最佳解答刊登出来. Weil惊讶地发现他可以解答一些问题, 不久他的名字就在这本期刊上频频出现.1916年10月Weil开始在蒙田中学读五年级. Weil认为对于有天赋的学生, 最好每隔两到三年在每个学科上能接触到一位优秀的老师, 来提供他拔高所需要的动力, 而在剩下的时间则需要夯实基础. 1916年的秋天Weil 确实遇到了一位这样的老师: Andraud. Weil跟随这位老师学习了拉丁语和希腊语.1917年10月Weil一家来到Laval(法国西北部城市), Weil开始读三年级. 阅读《伊利亚特》成为他发现诗歌的契机, 并在一次背诵测验中, 声音洪亮, “亚历山大体的诗句在教室震颤回响”, 得到了老师的表扬. Weil不满足于古希腊诗歌, 对梵语写就的诗歌也产生了兴趣.1918年秋天Weil开始了他的二年级, 不过由于家人准备返回巴黎, 他没有去学校学习, 而是接受Sinoir先生的私人辅导, 学习文学.家人认为Weil应该在1919年10月入读圣路易高中一年级的C方向(拉丁语+理科), 但是数学基础还有一些缺陷, 于是联系了Collin先生进行辅导, 他也是Weil未来的一年级老师. Collin先生上课善于调动学生的积极性, 同时要求学生熟记定义(既然数学是靠严格定义的概念运行的)、证明过程不要跳步, Weil认为在Collin先生的课上数学真正表现出了作为一个学科的美. Weil还认为记课堂笔记是锻炼思维的最好方式. Collin先生告诉Weil书写证明时不应使用“显然”这个词, 因为“如果是显然的，您就不用说出来了. 如果您用了这个词, 就证明这不是显然的.” 虽然圣路易高中是法国最好的理科高中, 文科在这所学校同样受到重视, Weil在这里也遇到了好的历史老师, 同时也阅读了很多历史书籍.1920年Weil开始备考综合理工和巴黎高师. 他进入“鼹鼠班”(taupe)学习, 这是个数学预备班, 之所以叫做鼹鼠是因为学生因苦读而视力受损. 文学预备班称为Khange, 意为膝盖外翻, 四体不勤. 1921年Weil与Jacques Hadamard相识, Weil感觉Hadamard知识无穷渊博, 但精神和性格都保持着某种非凡的朝气, 只比他大一点点(虽然Hadamard已经56岁了). 某次购书时Hadamard向Weil推荐了Camille Jordan的《分析教程》、Thomson和Tait的《自然哲学教程》. Weil从这两本书中分别学习了分析学和微分几何学.雅克·阿达玛(Jacques Hadamard, 1865-1963)是法国数学家，他最重要的成果是1896年证明的素数定理. 如果用表示不超过的素数的个数, 那么这个定理是说当时有如下渐近行为. 这一成果并不是阿达玛唯一的杰出贡献, 阿达玛对几何学、动力学、积分方程、编码理论、偏微分方程、概率论都做出了重要贡献. 他还发表了许多关于数学教育的文章. 阿达玛与中国数学有很深渊源, 1936年古稀之年的阿达玛受清华大学算学系主任熊庆来邀请访问清华大学三个月并做了偏微分方程的讲座, 对中国数学特别是偏微分方程的发展产生深远影响. 1964年, 阿达玛的《偏微分方程论》一书由科学出版社出版. 华罗庚与阿达玛有深厚友谊, 阿达玛向华罗庚介绍了维诺格拉多夫关于华林问题的研究情况, 并介绍二人通信.卡米尔·若尔当(Camille Jordan, 1838-1922)因其在代数、群论和伽罗瓦理论方面的工作而受到同时代人的高度评价. Jordan最为人所知的是他证明了一条简单的闭合曲线将一个平面分为两个区域，现在被称为Jordan曲线定理。他还提出了有界变分函数的概念，尤其以其对曲线长度的定义而闻名。这些概念出现在他的《综合理工学院分析课程》中.1921年流行的是相对论, 爱因斯坦被邀请到法兰西公学院做讲座, 人们对此趋之若鹜, Hadamard帮助Weil搞到一张门票. Paul Painlevé的持续出席, 为些讲座增添了色彩. Weil还聆听了一场Élie Cartan与爱因斯坦的令人难忘的讨论. 爱因斯坦的广义相对论的基础是古典黎曼几何. 在Cartan的理论中, 这是一种有曲率但无挠率的几何. 或许爱因斯坦自己也完全不知道在那个年代人们已经可以想象别的样子的几何, Cartan的观点可以立刻让人理解得更深入. Cartan向爱因斯坦指出我们是否可以考虑有挠率但没有曲率的几何.保罗·潘勒韦(Paul Painlevé, 1863-1933), 研究微分方程. 他曾两度担任法国总理. 上文提到的阿达玛访华就是潘勒韦推荐的. 新的理论出现通常都会遭受质疑, 爱因斯坦的相对论也不例外. 爱因斯坦的这次法国之行与支持牛顿经典力学的法国科学家展开了激烈辩论. 潘勒韦引导法国同事理性比较两种理论. 潘勒韦曾于1920年率领法国文化界、知识界知名人士组成的代表团访问中国. 随行的数学家有埃米利·博雷尔(Emile Borel), 博雷尔创造了第一个有效的点集测度理论，这是现代实变量函数理论的开端. 微积分课程中有一个有限覆盖定理, 也称海涅-博雷尔定理.埃利·嘉当(Élie Cartan, 1869-1951)研究连续群、李代数、微分方程和几何. 他的工作实现了这些领域的综合. 他是20世纪上半叶最重要的数学家之一. 他的作品具有高度的直观性和几何性, 但也基于原始计算和分析方法的强大组合, 涵盖了从代数到拓扑学的数学专业知识. 数学大师陈省身先生1936-1937年间跟随嘉当学习一年. 陈省身和Claude Chevalley这样评价嘉当的教学: 嘉当是一位优秀的老师; 他的讲座是令人欣慰的知识体验, 这让学生普遍错误地认为他已经掌握了关于这个主题的所有知识.巴黎高师预备班的课没有占据Weil的所有时间, 除了研读Jordan的书, 出于对印度史诗的向往他开始学习梵语. 此外, Weil开始收集希腊语和拉丁语作者的古老印刷本. 当然身处1922年的Weil还无法想象八年之后也就是1930年美国的图书馆斥资构建所谓“稀有而珍贵”的馆藏会导致旧版书价格飙升. Weil告别了高中, 即将就读高等师范学校.在高师, 学生们被分在一个个宿舍. 快开学的时候, Weil的第一要务就是找一些友好的舍友他们一共五个人: Paul Laberenné, Jean Delsarte, Yves Rocard, Jean Barbotte和他自己. Laberenne是Weil在数学预备班的同学, 个子很高, 思维开放, 是个好伙伴, 并不是书呆子. Delsarte来自鲁昂, 只读了一年“鼹鼠班”就考上高师. Rocard来自路易大帝高中, 他很快就在他的格子里放了许多黑色硬皮笔记本, 里面用细小但十分清晰的字体记录了许多他的个人想法和一些有关气体动力理论的计算. Barbotte是入学考试年级第一, 军官的儿子, 对恶作剧十分不适应.让·德尔萨特(Jean Delsarte, 1903-1968)是一位以数学分析工作而闻名的法国数学家. 德尔萨特与当时在斯特拉斯堡担任讲师的André Weil和Henri Cartan合作, 组织了南锡和斯特拉斯堡之间的联合研讨会项目. 他能够将许多优秀的同事带到南锡: Paul Dubreil于1933年至1937年在那里任教, Jean Leray于1936年被授予应用数学兼职讲师, 让·迪厄多内也于1938年被任命为南希的讲师. 他在数学研究、教学和管理方面表现出了天赋, 并通过参与广泛的活动对法国的数学产生了重大影响.高等师范学校的理科图书馆每周只开放两个小时, Weil设法谋求了一个图书馆助理的职位. 虽然是无薪的, 但是他有了泡图书馆的机会. 由于之前自学了Jordan的《分析教程》, Weil得以免修Édouard Goursat所授的分析学课程. 此外Weil还去法兰西公学院的听Hadamard的讨论班, 有时还参与其中.爱德华·古尔萨特(Edouard Goursat, 1858-1936)是一位法国数学家, 他最出名的是他的柯西-古尔萨特定理(也称柯西积分定理), 是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理.“讨论班”这个词如今大家已经习以为常, 大学里的教师和研究生谁没有上过讨论班呢? 可是在Weil就读高师的时候以及之后很久, 在巴黎只有一个讨论班, 特指Hadamard的那个. 大家聚集在Hadamard的书房里, 每个人分配一些论文来研读. 这些论文来自世界各地, Hadamard将这些论文归类到他四处搜罗来的各类主题之下. 一般而言, 这些文章是最近两三年内的工作. 至于文章的内容, Hadamard希望能展现一个尽可能广阔的当代数学的图景.讨论班当时是一周一次, 之后改成一周两次. 参与者既有老练的数学家, 也有初学者. Paul Lévy是Hadamard的学生, 也是当时参与最多的人. 在讨论班上, Hadamard假装自己是学生, 而参与者做的报告是讲给他的, 主要的目的是把他教会. 遇到报告人解释不清的情况, 他会要求进一步的解释, 或者直接自己解释. 最后, 他会点评, 有时候只是几个字, 有时候会随自己的心意多讲一些. 无论报告人是谁, 都会被平等对待, 对Weil也是如此, 虽然Weil只是年轻的学生. 这对Weil帮助巨大, 以致Weil当时对多复变函数理论有了一些想法, 特别是关于多变元的级数的收敛区域的问题, 这是Hadamard在单变元情形的经典结果的推广.保罗·莱维(Paul Lévy, 1886-1971)是一位法国数学家, 在成为泛函分析专家后, 他在概率论方面取得了重要进展. 莱维是概率论世界中的一位画家. 就像伟大的绘画天才一样, 他的调色板是他自己的, 他的画永远改变了我们对现实的看法. 莱维不仅对概率和泛函分析做出了贡献, 还研究了偏微分方程和级数. 1926年，他将拉普拉斯变换扩展到更广泛的函数类. 他对泛函导数中的广义微分方程进行了大规模的研究. 他还学习几何. 他是一个孤独的研究者, 只关心提出他感兴趣的问题, 并通过内心反思来寻求解决方案. 他很少读别人的作品, 除了在他生命的尽头例外, 他没有参加国际大会. 人们可能会说, 他的手工艺式工作方法有其缺点: 他经常在不知情的情况下发现已知的结果; 更常见的是, 他发现重要结果时没有给予必要的宣传, 有时是因为他相信这些结果已经为人所知.在巴黎高师的前两年, 图书馆的大量阅读和Hadamard的讨论班的熏陶, 使得Weil成长为一名数学家. Weil也上过索邦大学Émile Picard的课, 和法兰西公学院Henri Lebesgue的课. Lebesgue的课在周二下午五点, 冬天附近无家可归的人也会来到教室取暖(法兰斯公学院的课是完完全全面向大众的). 尽管他们会慢慢睡着, 但他们还是会被睡梦中听到的讲课的内容影响. Weil发现他们不会在Lebesgue的课上待太久, 一般不会超过八分钟.埃米尔·皮卡德(Emile Picard, 1856-1941)从事代数几何以及弹性、热和电的研究. 皮卡德在分析、函数论、微分方程和解析几何领域做出了重要的贡献. 他使用逐次逼近的方法证明了求解这些微分方程的柯西问题的常微分方程解的存在性, 现在称为Picard逐次逼近.亨利·勒贝格(Henri Lebesgue, 1875-1941)于1901年提出了测度理论, 次年他给出了勒贝格积分的定义, 推广了黎曼积分的概念. 他还在数学的其他领域做出了重大贡献, 包括拓扑学、势论、狄利克雷问题、变分法、集合论、表面积理论和维数理论.在高师的第一年, Weil开始读Bernhard Riemann的作品(尽管没有学过德语, 但是Weil的父母的德语很流利, 耳濡目染之下Weil可以无障碍阅读德语书籍和期刊). 这样做的动机来自于如下观念: 人类历史上伟大的思想是重要的, “文明的价值体现在科学和艺术中”. Weil读了Riemann关于几何学基础的就职演讲和他关于阿贝尔函数的伟大著作. Weil认为没有数学家比Riemann所写的东西更凝练厚重了. 为了理解Riemann, 阅读Jordan的工作的第二卷是一个很好的准备, 图书馆里的Felix Klein的课程讲义有很大一部分是在点评Riemann的工作, 这些讲义的内容有些散漫, 但十分有见解, 是对Riemann过于简练的工作的补充. 在这些学习之外, Weil继续学习梵语.伯恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann, 1826-1866)关于空间几何的思想对现代理论物理学的发展产生了深远的影响. 他通过定义我们现在所说的黎曼积分澄清了积分的概念. 在完成了极具原创性的博士论文之后, 高斯为黎曼推荐了一个哥廷根的职位. 作为该职位的资格认证，黎曼于1854年发表的关于几何基础假设的演讲成为了数学的经典。当选为柏林科学院的一位新成员之后, 黎曼提交了一份关于小于给定数的素数的估计数的报告, 这是他另一项伟大的杰作, 将以最显著的方式改变数学研究的方向. 在报告中他研究了Zeta函数并提出著名的黎曼假设, 它至今仍是数学中最重要的未解问题之一.菲利克斯·克莱因(Felix Klein, 1849-1925)是一位德国数学家, 他对几何的综合研究, 即对在给定的一组变换下不变的空间性质的研究, 被称为埃尔兰根计划, 深刻地影响了数学的发展.《Mathematische Annalen》杂志的名声源于克莱因的数学和管理能力. 该杂志最初由克莱布施创办, 但只有在克莱因的管理下, 它才成为一个重要学术期刊.由于在高师的第一年Weil迅速搞定了本科的所有考试, 所以第二年的生活非常自由, 只是李群的课不是Elie Cartan所开感觉稍有遗憾. 高师的第三年Weil开始准备教师资格考试. 这一年他对音乐产生了兴趣, 经常去听音乐会.最初的旅行在1925年Weil几乎所有的同学在通过教师资格考试后去服兵役了, 但是他还不到参军年龄, 于是申请到一笔奖学金可以去罗马读一年书. 10月份动身去意大利之前, Weil会经常计算丢番图方程, 通过阅读Riemann和Klein的著作, 他相信双有理不变量的概念是非常重要的, 这是他未来博士论文第一部分的萌芽.在到达罗马之前, Weil先去米兰、贝加莫、维罗纳、维琴察、帕多瓦、威尼斯、佛罗伦萨等地游览了一个月. 在罗马, Vito Volterra像父亲一样接待了Weil. 他的一切都令人尊重, 无论是为人还是学术. 拿着意大利旅游俱乐部的导游手册, Weil游遍了罗马. Weil在意大利的新奇见闻很多, 以至于工作受到影响, 只是在散步时于头脑中构思数学, 对线性泛函产生一些想法, 而Volterra则带着无穷的善意聆听. 在罗马也有一些别的学数学的外国大学生, Szolem Mandelbrojt和Oscar Zariski的专业也与数学有关. Francesco Severi十分友善地为他们做了一些关于代数曲面的讲座. 他既风趣又雄辩, 意大利语令Weil陶醉. Weil询问如何评价Solomon Lefschetz的工作. “是bravo的”, Sveri告诉Weil. 这差不多等于“他很有才华”. “他不是Henri Poincaré,” Severi补充道, Poincaré是一只鹰, “一只aquila!” 他高高地举起了手, 而Lefschetz是一只麻雀, “一只passero!” 他把手放低了一半. 但Lefschetz很有才华, “还是bravo的, bravo.”维托·沃尔泰拉(Vito Volterra, 1860-1940)发表了关于偏微分方程的论文, 特别是圆柱波方程. 他最著名的工作是关于积分方程的. 他于1884年开始这项研究, 并于1896年发表了关于现在所谓的“Volterra型积分方程”的论文.索尔姆·曼德尔布罗伊特(Szolem Mandelbrojt, 1899-1983)是波兰出生的法国数学家, 专门从事数学分析, 他的主要贡献在函数论和级数论方面. 他是分形几何之父Benoit Mandelbrot的叔叔, 分形被用来描述经济、金融、天文学和计算机科学中的各种行为.奥斯卡·扎里斯基(Oscar Zariski, 1899-1986)的工作是在代数几何的基础上使用代数方法. 他研究了正规变分理论、局部均匀化和代数变分奇异性的约化.扎里斯基最著名的书是《交换代数》, 这是一本与Pierre Samuel合著的两卷本著作. 扎里斯基1921年秋天进入罗马大学求学, 这时的罗马大学正是当时世界代数几何的研究中心, 意大利学派的所在地. Francesco Severi是意大利学派中最年轻最有影响力的数学家. 扎里斯基的所有工作都是代数几何目前蓬勃发展的基础.弗朗切斯科·塞维里(Francesco Severi, 1879-1961)最重要的贡献是代数几何. 他的非常可观的科学成果具有一致的高水平, 他只关注具有普遍性且通常非常困难的重要问题. 他会在几何和分析之间保持平衡，他实际上对函数理论做出了杰出贡献. 数学之外, 塞维里还是出色的演说家和作家、 艺术和人文学科的鉴赏家、旅行家.所罗门·莱夫谢茨(Solomon Lefschetz, 1884-1972)是早期拓扑学研究的重要数学家, 对拓扑学的发展做出了长远贡献, 是美国普林斯顿拓扑学派的主要奠基人之一. 本来想成为一名工程师, 后由于实验室的事故身体残疾, 转投数学研究. “拓扑学”一词来自莱夫谢茨1930年写的一本专著的标题. 另一个对该领域的发展产生巨大影响的著作是1942年出版的《代数拓扑学》.亨利·庞加莱(Henri Poincaré, 1854-1912)可以说是代数拓扑学和复变量解析函数理论的创始人. 庞加莱是一位专注于数学、物理学和哲学许多方面的科学家, 他经常被描述为数学中最后一位全才. 他对数学、天体力学、流体力学、狭义相对论和科学哲学的众多分支做出了贡献. 他的大部分研究涉及不同数学主题之间的相互作用, 他对整个知识领域的广泛理解使他能够从许多不同的角度解决问题.一次偶然的机会Weil发现Louis Joel Mordell的论文与自己思考的问题非常相近, 这强烈地激发了他的好奇心, 他读了Mordell的作品, 但却暂时没有学到什么东西.路易斯·乔尔·莫德尔(Louis Joel Mordell, 1888-1972)最出名的是他对费马所研究过的的形式的方程的研究. 1920-1922年间他发现了有限基定理, 在陈述该定理的论文中他猜测在任何亏格大于1的曲线上只有有限个有理点, 这被称为Mordell猜想. 1983年, 德国数学家Faltings证明了Mordell猜想是正确的. 莫德尔喜欢登山和游泳. 即便是八十岁了, 莫德尔仍然热衷于旅行.一年的愉快的意大利之行即将结束, 是时候考虑下一年的计划了. 1926年, Volterra向洛克菲勒基金会推荐了Weil, 此次要去德国游学. 由于线性泛函的原因Weil选择了哥廷根的Richard Courant. 他还申请在德国的这一年能去柏林待一阵, 也获得了批准. 此外, Weil还接受流体力学家和《数学科学记事》的主编Villat的安排答应在冬季和夏季学期之间的空闲时间去斯德哥尔摩一个月与Mittag Leffler共同工作编写有关幂级数的一册书.理查德·库郎(Richard Courant, 1888-1972)是一位波兰出生的应用数学家, 以在纽约创立以他命名的研究所而闻名. 1940年至1941年, 他与哈佛大学的年轻拓扑学家赫伯特·罗宾斯共同撰写了一本新书《什么是数学？》它记录了库朗的数学观.米塔格·莱夫勒(Mittag Leffler, 1846-1927)是一位瑞典数学家, 研究函数的一般理论. 他最著名的工作涉及一个单值函数的解析表示. 莱夫勒是最早支持康托尔集合论的数学家之一. 1882年, 莱夫勒创立了《数学学报》(Acta Mathematica), 并担任该杂志主编45年. 康托和庞加莱为前几卷贡献了许多论文. Acta Mathematica是世界上最负盛名的数学研究期刊之一, 在影响因子方面一直跻身数学类十大期刊之列.经过比利时、荷兰和莱茵河谷, Weil于1926年11月到达哥廷根, 开始了冬季学期. 他立刻拜访了Courant, Courant当时还没有让人建立攫取名声的数学中心. Courant友好地接待了Weil, 并询问他是否会拉大提琴. Courant的妻子每年都会组织一个小型室内乐团, 那一年还缺一个大提琴手. 之后Weil做了一个报告, 报告的内容是有关泛函演算的一些想法, 这是关于Baire函数分类工作对于线性泛函的推广. 法国学派对这种分类的重要性有所夸大, 但Weil很愿意沿着这条路走下去, 他相信有一天这种方法可以被为当时被称为“第一类积分方程”的东西带来新的启示. Courant很耐心地听他讲完, 后来才听说他那天总结道Weil之后可能“做不出东西”. 从Courant家出来遇到Courant的助手Hans Lewy, 问Courant是否给他一个问题做. Weil震惊了, 无论是在巴黎还是在罗马, 他从来没有想过让别人给一个问题做. Weil感觉没有从Courant和他的小团体学到什么东西, 而且他的学生经常行色匆匆, 聊不了两句就要走了, 说: “我得去写Courant的书里的一章了.”当时David Hilbert马上要退休了, 他依然众望所归地主持数学学会的会议, 但已经不再给出刀刀见血的评语, 从前人们会在会议后还一致重复他说的话, 同时努力模仿他的口音. 在Constance Reid为Hilbert写的传记中所引用的只是很微小的一部分. 当时物理学界在哥廷根很活跃, 他们正在孕育量子力学.大卫·希尔伯特(David Hilbert, 1862-1943)在几何学方面的工作对这一领域的影响仅次于欧几里得. 对欧几里德几何公理的系统研究使希尔伯特提出了21个这样的公理, 并分析了它们的意义. 他在数学和物理的许多领域都做出了贡献. 希尔伯特著名的23个巴黎问题挑战(至今仍然挑战)数学家解决基本问题. 希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上发表了著名的演讲《数学问题》. 这是一篇对未来一个世纪的数学充满乐观的演讲, 他认为开放性问题是该学科活力的标志.Emmy Noether则扮演了鸡妈妈一样的角色, 她充满保护欲, 温和敦厚, 一直说个不停. Noether的课没有条理, 尽管如此, Weil在她的课上, 以及和她周围的人群的交谈中, 入门了现代代数以及多项式环的理想的概念. Pavel Aleksandrov是她的座上宾. 当Weil告诉Aleksandrov他在巴黎听了Lebesgue的拓扑学课程, Aleksandrov一直坚持要看他的课堂笔记, 没有看到新东西, 很是失望.埃米·诺特(Emmy Noether, 1882-1935)最为人所知的是她对抽象代数的贡献, 特别是她对环理想上的链条件的研究. 1915年, 希尔伯特和克莱因邀请诺特访问哥廷根. 原因是希尔伯特正在研究相对论, 他需要一位不变理论专家的帮助. 来到哥廷根的诺特立刻解决了两个重要问题, 其中一个是狭义相对论的问题. 她证明: 洛伦兹群的每一个无穷小变换都对应一个守恒定理. 理论物理学中的这一结果有时被称为诺特定理. 爱因斯坦在给希尔伯特的一封信中赞扬了相对论的这一基本结果, 他提到了诺特的深刻数学思想. 尽管考虑到她所取得的显著成就, 她一生中几乎没有得到认可, 但她去世后在许多方面都受到了尊重. 月球上的一个陨石坑以她的名字命名, 她家乡的一条街道以她的名字命名, 她就读的学校现在被命名为埃米·诺特学校.帕维尔·亚历山德罗夫(Pavel Aleksandrov, 1896-1982)是俄罗斯数学家, 对一般拓扑学做出了重要贡献. 1923年和1924年的夏天, 亚历山德罗夫和Pavel Urysohn访问了哥廷根, 他们的成果给诺特、库郎和希尔伯特留下了深刻的印象. 1924年夏天, 他们还访问了波恩的豪斯多夫, 访问豪斯多夫时他俩每天都要游过莱茵河, 这一壮举远非安全, 引起了豪斯多夫的不满. 即使是后来训练学生的时候也会有拓扑式的步行、乘船数天的长途郊游、在伏尔加河或其他宽阔的水域游泳、在莫斯科郊外的斜坡上持续数小时的滑雪之旅.Weil的小姨住在法兰克福, Weil在她家过圣诞节时联系了法兰克福的数学家: Carl Siegel、Max Dehn、Ernst Hellinger、Paul Epstein、Otto Szász. Dehn思想广博, 对哲学和希腊数学都有深厚的了解. Dehn是一位数学人文主义者, 在数学中, 他看到了人类精神的历史的一章. 他的数学史研究富于创见, 而同时他的同事和学生也参与其中. 在Dehn主持的法兰克福数学研究所的数学是讨论班上, 大家一起选择一个文本, 然后阅读其原文并试图理解思想的发展.卡尔·西格尔(Carl Siegel, 1896-1981)是一位德国数学家, 研究代数数论和天体力学. 西格尔尤其以他在数论方面的工作而闻名, 他在其中发挥了重要作用. 当看到Serge Lang出版的《丢番图几何》时, 他写信给莫德尔: 作者的整体风格与我们在数论大师拉格朗日、高斯或哈代、朗道的作品中所钦佩的简单和诚实感相矛盾. 当Lang又出版了一本关于代数数的书, 西格儿认为“这本书比前一本还差. 我看到一头猪闯进了一个美丽的花园, 把所有的花草树木都连根拔起.”马克斯·德恩(Max Dehn, 1878-1952)撰写了最早的拓扑学系统论述之一, 后来提出了关于群表示的重要问题. 德恩教授数学、哲学、希腊语和意大利语. 他的讲座经常涉及哲学、艺术及其与数学的联系. 他最擅长用苏格拉底式讲课. 他喜欢和学生一起徒步穿过树林时做这些讲座. 他被人们铭记为一位有爱心和敬业的老师.恩斯特·海林格(Ernst Hellinger, 1883-1950)引入了一种新型的积分: Hellinger积分, 并与Hilbert共同提出了重要的Hilbert-Hellinger形式理论. 与Toeplitz一起，他为Klein的《数学科学百科全书》(Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften)撰写了一篇关于1923年之前积分方程文献的不朽综述。这篇文章现在被认为是伟大的经典之一, 并被重印了好几次. 海林格还研究数学史, 同时他还是一名有天赋的老师, 他非常关心他所教的学生.保罗·爱泼斯坦(Paul Epstein)是一位德国数学家, 以其对数论的贡献而闻名. 他最重要的工作是数论，特别是Zeta函数. 此外, 他研究了数学史和文化中的数学. 爱泼斯坦的另一个天赋是音乐, 他积极参与了法兰克福的文化生活.奥托·萨克逊(Otto Szász, 1884-1952)是匈牙利数学家, 从事实分析, 尤其是傅里叶级数的研究, 他对傅里叶级数的一些贡献与Bernstein、Hardy、Littlewood和Fejér证明的结果有关. 此外他也研究了连分式的某些收敛问题以及幂级数问题.Siegel已经有了属于他的传说: 人们告诉我他的抽屉里都是天才的手稿, 而他藏起来不给别人看. 当时在法兰克福流行的理论是 文章发表得越来越多, 但真正的数学会被这股发表大潮淹死; 而这浪潮其实是由每位作者浅尝辄止、没有推进到底的新想法组成的. 要是有新想法的人不再发表, 这股浪潮就会干涸, 只有这样, 数学家才可以重新整装起航. 于是, 他和他的同事就不太发表文章, 但在新年或是生日的时候把手稿送给朋友做礼物还是可以的. Dehn保留着Siegel作为五十岁生日礼物赠送给他的一部有关超越数的手稿. 在手稿的结尾有下面这段话: 一个市民, 还在钻研代数! 他岂不是在经历如同超越数一般的无限个体性!在这之后, Weil去了柏林, 学到很多东西. 他重新拾起以前对丢番图方程的思考. Heinz Hopf刚从阿姆斯特丹回来, 教授Brouwer的拓扑理论. 有一天Weil问Hopf, 如果对拓扑厌倦了, 会做什么别的东西, Hopf很严肃地回答“但我是永远不会对拓扑感到厌倦的.”海因茨·霍普夫(Heinz Hopf, 1894-1971)的研究工作是代数拓扑学. 他研究了向量场并扩展了Lefschetz的不动点公式. 他还研究了同伦类, 并定义了现在所谓的“Hopf不变量”. 1939年, 他研究了紧致李群的同调. 这是为了解答Élie Cartan向他提出的问题. 他在这项研究中引入的思想使他定义了今天所谓的Hopf代数. 霍普夫是个身材矮小、精力充沛、性格开朗、令人愉快的人, 说话缓慢而有力, 演讲风格清晰而引人入胜. 霍普夫的工作深刻地影响了陈省身后来的工作. 陈省身认为“霍普夫是一位能通过特例发现重要数学定理和新数学现象的数学家, 化繁为简, 将核心定理或其难点变得十分清晰, 霍普夫的数学表述是精确和精炼的典范.”路易森·埃格伯图斯·扬·布劳威尔(Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881-1966)是荷兰数学家, 以其拓扑不动点定理而闻名. 布劳威尔不动点定理来自他对希尔伯特第五问题的研究, 该定理表明, 欧氏空间中维球体到自身的连续映射总是存在至少一个不动点. 他创立了数学直觉主义学说, 认为数学是由不言而喻的规律支配的心理结构的表述. 尽管他最重要的研究贡献是在拓扑学方面, 但布劳威尔从未教授过拓扑学课程, 而是始终在——而且只在——直觉主义的基础上. 他似乎不再相信自己在拓扑学中的结果, 因为从直觉主义的角度来看, 这些结果是不正确的.Erhard Schmidt以他一贯的方式十分隆重地接待了Weil. 他家的壁炉上放着他的大理石胸像. Schmidt思维的敏捷可以媲美Hadamard. 他很专注地听Weil讲线性泛函演算的一些思考, 他认为其中有一步和John von Neumann的还未发表的工作有关系, 还建议Weil去认识一下von Neumann. 真正见到von Neumann是几年以后的事情了.埃哈德·施密特(Erhard Schmidt, 1876-1959)最为人所知的是Gram-Schmidt正交化过程, 该过程以空间为基础, 并从中构建一个正交的空间. 施密特研究兴趣转向拓扑学后发现了Jordan曲线定理的一个新证明. 施密特对拓扑学的兴趣影响了霍普夫. 施密特对等周不等式产生了兴趣，并于1949年发表了一篇关于这一主题的重要论文。约翰·冯·诺伊曼(John von Neumann, 1903-1957)为量子力学建立了一个坚实的框架. 他还从事博弈论研究, 研究了现在所谓的冯·诺伊曼代数, 是计算机科学的先驱之一.在柏林, Weil一次和Brouwer谈起即将到来的瑞典之行, 表明了一些担忧, Brouwer尽然建议他和Mittag Leffler绝交这样就不用去了.来到斯德哥尔摩, Weil和Leffler进行了几次交谈, 模式都一样: 首先是法语, 会提到几句幂级数, 以及Weierstrass的相关思考是多么好. 从这里开始, Leffler就转到了他对Weierstrass的回忆, 然后有回想起了Sofia Kowalevskaya, 于是他很自然地开始讲德语. 之后他觉得有些累有开始讲瑞典语. 最后他突然回过神来, 说道:“我忘了您不懂瑞典语, 我们下次再一起工作吧.” Leffler答应Weil在《数学学报》上发表他未来的博士论文, Leffler准许Weil待在他美丽的图书馆, 这个图书馆十分仔细地分类保存着半个世纪以来他于欧洲所有伟大数学家的通信.卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass, 1815-1897)以利用幂级数构建复函数理论而闻名. 他被称为现代分析之父, 他给出了级数收敛的检验方法, 并对周期函数、实变量函数、椭圆函数、阿贝尔函数、收敛无穷积和变分法理论做出了贡献. 他还提出了双线性和二次型理论. 许多学生受益于魏尔斯特拉斯的教学, 包括: Bachmann, Bolza, Cantor, Engel, Frobenius, Gegenbauer, Hensel, Hölder, Hurwitz, Killing, Klein, Kneser, Konigsberger, Lerch, Lie, Luroth, Mertens, Minkowski, Mittag-Leffler, Netto, Schottky, Schwarz和Stolz.索菲亚·科瓦列夫斯卡娅(Sofia Kovalevskaya, 1850-1891)是一位出生于俄罗斯的数学家, 对微分方程理论做出了宝贵贡献.在回到哥廷根的路上, Weil拜访了哥本哈根、吕贝克和汉堡.回到哥廷根之后, Weil又开始思考丢番图方程. 自从访问柏林以来, Weil已经能偶对代数曲线提出并证明他的所谓的“分解定理” , 而该定理在一般代数簇上的推广构成了他的博士论文的第一章. 突然之间, 他发现这些同样的原则使他有可能看到Mordell在椭圆曲线上的计算的真正含义. 有了这种解释, Weil可以讲这些计算推广到亏格大于的曲线上. 当时Alexander Ostrowski在哥廷根做编外讲师, 他出名不仅因为才能, 而且还特别因为他对各个方向都十分了解, 并且收藏了很多论文. Weil向Ostrowski借来Mordell的文章, 找到了他所期待的东西. 在将文章还给Ostrowski的时候, Weil说自己可以将Mordell的结果推广到一般亏格的情形, 从而解答了Poincaré二十五年前提出的一个问题. 其实Weil的想法还不成熟, 需要具体化, 做出实质性的工作是一两年后的事了.亚历山大·奥斯特洛夫斯基(Alexander Ostrowski, 1893-1986)是乌克兰出生的数学家, 在分析和代数方面从事各种各样的研究.虽然试图引起Noether及其研究小组的注意, 但没有成功, 当时Noether专注于超复数, 一种非交换代数. 幸运的是, Weil和Siegel在法兰克福交流了很久, 并解释了“分解定理”, 而他肯定了Weil的第一个发现的价值. Hellinger或许被Weil的年轻和热情感染, 认为应当鼓励他对泛函演算的探索. 当时Otto Toeplitz正好来拜访Hellinger, 它们一起编写了德语百科全书里有关积分方程的一卷. 每次Toeplitz来法兰克福的时候, 就会去参加数学史讨论班, 而法兰克福的数学家们也将他当作他们的一员. Weil时常想象有朝一日他们也这样接纳自己.奥托·托普利茨(Otto Toeplitz, 1881-1940)发展了一个关于无限维空间的一般理论, 并批评巴拿赫的工作过于抽象. 一他的名字命名的数学名词有托普利茨矩阵、托普利茨算子. 托普利茨对数学史也很感兴趣, 例如，他写了一本关于微积分史的优秀著作《The Calculus

A Genetic Approach》. 希腊数学与希腊哲学之间的关系是他深感兴趣的一个历史话题. 他是20世纪二三十年代法兰克福数学研讨会的常客, 他的朋友Ernst Hellinger从1914年开始在那里工作, 数学史在那里发挥了重要作用. 他与Harts Rademacher合作写了一本关于数学的畅销书《The Enjoyment of Mathematics》, 这本书高等教育出版社出了中译本.从1927年夏天起, Weil开始整理他有关丢番图方程的工作并将其写成博士论文. 论文完成之后, 他首先去寻求Hadamard的建议. Weil告诉Hadamard自己解决了Poincare的一个问题. 他还莽撞地补充说, 他还希望同时证明当时所谓的Mordell猜想, 也就是所有亏格大于的曲线的有理解的有限性. 但Weil没有达成这个目标. Hadamard说: “Weil, 我们几个都是站在您这一边的. 但在提交一篇论文的时候, 您不应该半途而废. 您现在说出的话表明您的工作还没有成熟.” Weil又努力了一下, 但很快还是放弃了, 就这样提交论文算了. 幸亏Weil这样做了, Mordell猜想过了半个世纪才被证明出来.由于论文会提到一些代数函数和阿贝尔函数, Weil去见了Picard. Picard认识Weil, 之前是他的高等分析资格证的考官. Picard是出色的数学家, 同时也位高权重. 他是科学院的常任书记, 法兰斯公学院的成员. 在一战前, 他的头衔和勋章在《数学学报》上就已经要写一页还多. Picard说愿意做Weil论文答辩委员会的主席, 但还需找一个老师做评审员.Lebesgue完全不了解Weil的论文的主题, 而按当时的规矩法兰西公学院的教授是不能参加答辩委员会的, 但Lebesgue特立独行, 不屑于墨守成规. Weil决定去和他说:“我的论文很好, Siegel也觉得好, 我必须要答辩了. 您不一定要读我的论文, 请您同意做我的评审员吧, 这就是走个形式.” 当时Lebesgue每周一在法兰西公学院上课, 让Weil去那里找他, 他让Weil先等一会儿, 之后去和Picard说了几句话, 回来和Weil说:“ 您带着论文的稿子吗?” “带了.” “那您叫一辆出租车, 去这个地址找Garnier先生, 然后告诉他Picard先生希望他能负责您的论文.” Garnier当时刚获得索邦的教职. 据传如果不是Picard帮了大忙, 另外一个候选人Pierre Fatou没准就会将他挤掉. 于是Garnier成为了论文评审员, 他既专注又友好. 他没有注意到证明中的一些问题, 却提出一些有关逗号用法的有用建议. 这件事情让他成为所有代数和算术领域的官方评审员. 比起Weil的论文, Claude Chevalley的论文应该给他带来了更多麻烦.皮埃尔·法图(Pierre Fatou, 1878-1929)是一位法国数学家和天文学家, 从事多个分析分支的工作. 在测度论中, 以 他的名字命名的法图引理说明了一个函数列的下极限的积分和其积分的下极限的不等关系. 法图对世俗事务完全漠不关心, 比如他的谈话语气, 只要话题没有引起他的好奇心, 谈话就会变得枯燥、缓慢.克劳德·谢瓦利(Claude Chevalley, 1909-1984)对包括环理论和群论在内的几个数学领域的发展产生了重大影响. 他在1936年和1941年的论文中引入了adèle和idèle的概念, 这导致了类域论和代数几何的重大进步. 1943年, 他在局部环理论方面做了开创性工作, 发展了Krull的思想. Chevalley定理在1954年对拟代数闭域的应用以及次年对代数群的应用中都很重要. Chevalley群在有限简单群的分类中起着核心作用. 他的名字也与Chevalley分解和Chevalley类型的半简单代数群有关. 谢瓦利的许多书已经成为经典, 新版本不断出现, 翻译成几种不同语言的版本也在不断出现.博士论文发表之后Weil服了十个月的兵役. 在斯特拉斯堡大学有一个职位, 但他们录取了Weil的好朋友Henri Cartan. 1930年1月Weil来到印度的阿里格尔, 度过在印度的两年.亨利·嘉当(Henri Cartan, 1904-2008)是一位法国数学家，也是最早的布尔巴基创始人之一. 他研究了解析函数、层理论、同调理论、代数拓扑和势理论, 在所有这些领域都取得了重大进展. 他是Elie Cartan的儿子. 1931年，亨利和他的父亲Elie Cartan共同撰写了一篇论文. 大多数时候, 这两位数学家独立工作, 但在这篇论文中他们利用Elie Cartan在李群方面的专业知识来解决亨利感兴趣的问题. 经陈省身的介绍, 吴文俊跟随亨利·嘉当工作和学习了两年, 吴文俊在这两年间做出了很好的工作, 被国际数学界称为“吴公式”、“吴示性类”.数学研究方面, 丢番图方程陷入了绝境. Hadamard曾教导说, 在类似地情况下, 应当把这个问题放几年, 之后再重新用新鲜的思维来看这个问题. 再讨论班上, Hadamard经常强调当时人们所谓的“遍历假设”在这个问题上他还停留在Poincare和Boltzmann. 就在离开法国之前, Weil曾经想过把von Neumann新近有关Hilbert空间内酉算子的工作应用于这些问题. 1931年Weil和von Neumann谈起这一想法时, 觉得von neumann没有注意到这一点, 但对此十分感兴趣. Weil曾猜想了一个意义下的“遍历定理”, 并认为朝着这一问题做出了巨大进步, 但Elie Cartan不同意, 认为这个结果太宽泛、太不精确, 对微分方程的研究并没有什么实在的用处.Weil想去研究天体力学, 但很快就放弃了. 至少研究了Poincare关于旋转数的著名定理, 给出一个优雅的证明, 并想扩展到二维以上的环面, 但这个想法没有实现. Weil想把它扩展到所有在环面上没有奇点的一阶微分方程, 以及后来在亏格大于的紧曲面上. Hellmuth Kneser解决了第一个问题.赫尔穆特·克内尔(Hellmuth Kneser, 1898-1973)是爱沙尼亚出生的德国数学家, 以其在群论和拓扑学方面的工作而闻名. 他对与教学以及数学与其他科学的关系有关的各种其他主题也都很有兴趣. 让他着迷的不仅仅是数学和物理科学之间的关系. 他现在对经济学和社会学的数学理论产生了兴趣. 作为这些主题的数学基础, 他研究了博弈论在这些主题中的应用.Weil在多复变函数上获得了更大的成功. Weil思考这个问题很久了, 也和Elie Cartan讨论了几次, 是Elie Cartan重新引起Weil对这个问题的兴趣. 法国的传统教的是Augustin Louis Cauchy积分, 这统治了所有的一元复变函数理论, 而事实上这只是众多工具之一. Weil认为将Cauchy公式推广到一类“伪凸性”区域取得了巨大的进展.奥古斯丁-路易斯·柯西(Augustin Louis Cauchy, 1789-1857)开创了分析的研究, 包括实数和复数, 以及置换群理论. 他还研究了无穷级数的收敛和发散、微分方程、行列式、概率和数学物理. 数学中的许多术语都以柯西的名字命名: 复函数理论中的柯西积分定理、偏微分方程解的柯西-科瓦列夫斯卡娅存在定理、柯西-黎曼方程和柯西序列. 他发表了789篇数学论文, 这是一项了不起的成就.所有配得上“数学家”这一称号的人, 哪怕只是在极短的时间内, 都会体验到某种清醒的兴奋状态. 在这种状态下, 想法奇迹般地联袂而至, 而无意识(不管人们赋予它任何意义)也似乎在其中运作. Poincare在一段很出名的文字中, 描述了他是如何在这种状态下发现福克斯函数的(fonctions fuchsiennes). 而Gauss似乎也描述的是这种状态:“孕育是一种快乐(procreare jucundum).” 同时还补充道:“(但是生产是一种痛苦sed parturire molestum)”卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)在数学和物理学的各个领域都有工作, 包括数论、分析、微分几何、大地测量学、磁学、天文学和光学. 他的工作在许多领域产生了巨大的影响. 高斯的学生戴德金是这样描述老师的: 他通常以一种舒适的姿势坐着, 低头看, 微微弯腰, 双手合十放在膝盖上. 他说话很自由, 很清楚, 简单明了: 但当他想强调一个新的观点时…然后他抬起头, 转向坐在他旁边的一个人, 在强调的演讲中, 用他美丽而敏锐的蓝眼睛盯着他…如果他从解释原理到发展数学公式, 他就会站起来, 以一种庄严而笔直的姿势, 用他特别漂亮的笔迹在旁边的黑板上写字.从前在哥廷根Weil已经在丢番图方程的邻域体会到这样的时刻, 但当时他有点担心 ,不知道会不会再体会到. 而这种快乐的回归让他心中充满了喜悦. 这一发现与Stefan Bergmann在同一时期所获得的结果属于同一类. Weil很快将这个结果应用于一个在幂级数理论领域里 提出了一段时间的问题. Kiyoshi Oka十分了解这个理论, 对它有很深的钻研. 很久之后, 他向Weil保证说, 在一段时间内, Weil的结果对这一理论是不可或缺的. 1932年5月在回法国的路上 Weil在罗马稍作停留拜访了Vito Volterra, 并向他解释了自己获得的公式, Volterra从椅子上站起来, 跑到公寓向妻子喊道:“维吉尼亚! 维吉尼亚! Weil先生证明了一个特别漂亮的定理!”冈洁(Kiyoshi Oka, 1901-1978)是一位从事复变理论研究的日本数学家, 解决了许多重要问题. 亨利·嘉当指出: 他的证明的技术方面和他呈现结果的方式使他的作品难以阅读, 只有付出相当大的努力, 人们才能欣赏到他成果的巨大力量. 这就是为什么即使在今天, 他的作品也值得收藏.回到巴黎后, 教育部给Weil安排了马赛的教职, 系主任让他教“普通数学”.1932年9月国际数学家大会在苏黎世召开. Elie Cartan做了一个值得被铭记的报告, 他的语调平和, 一如从前.同年, 国家科研中心CNRS设立了(官方资料显示CNRS成立于1939年), 当时人们还不知道这个中心能干什么. 人们觉得可以用来为那些对“研究”(当时刚刚开始使用这个词, .之前都被称为“工人工作”)有兴趣的大学教员增加一些额外的待遇. Weil入选了这个中心.法国国家科学研究中心(Centre national de la recherche scientifique), 简称“CNRS”, 成立于1939年10月19日, 隶属于法国高等教育和研究部, 是法国最大的政府研究机构, 也是欧洲最大的基础科学研究机构, 同时也是世界顶尖的科学研究机构之一.布尔巴基此时Henri Cartan已经在斯特拉斯堡任教了, 那里马上还会有一个职位. 他们两个都迫不及待地想和对方重聚, 1933年开学的时候, Weil来到斯特拉斯堡, 在那里一直工作到1939年, 那是幸福且产出颇丰的几年. Weil最好的朋友 除了Henri Cartarn, 就是Jean Delsarte和Claude Chevalley了. Jean Delsarte在南锡当讲师, 他会在那里一直干到他职业生涯的尽头. Claude Chevalley刚从德国回来, 待在巴黎, 当时刚刚结婚, 并写完了博士论文.Weil从前经常访问德国的大学. 在德国, 讨论班是教学的重要部分. 而那时在法国唯一的讨论班是Hadamard开的 这是一个无法被模仿的范例. Weil、Henri Cartarn、Jean Delsarte和Claude Chevalley有意在巴黎组织一个讨论班, 这便是“Julia讨论班”. 当时要组织这种活动, 哪怕是为了在索邦借一间教室, 都要有一个“担保人”才行. Julia当时是高师最年轻的老师, 十分愿意帮助他们. 这个讨论班一直办到1939年. 和Hadamard讨论班不同的是, Julia讨论班每年专攻一个主题. 1933-1934年讲群和代数, 之后陆续是Hilbert空间(Elie Cartan的工作)等. 讨论班油印的讲稿还保存在Poincare研究所的图书馆里. Julia参加讨论班十分勤奋,或许就是在这里, 他萌生了将之后的科研生涯贡献给Hilbert空间的想法. 在战后, “Julia讨论班”以一个完全不同的形态浴火重生, 并冠以“Bourbaki(布尔巴基)讨论班”之名, 然而Bourbaki本人并没有为此做出什么贡献, 就像之前Julia和被挂在他名下的“Julia讨论班”一样.在斯特拉斯堡, Weil和Henri Cartan一起教授“微积分”课程, 他俩对微积分课程上使用的Edouard Goursat编写的教材越来越不满意. 由于Cartan不断向Weil询问怎么教某一节课程更好, Weil给Cartan起了一个绰号“十万个为什么法官”. 当然Weil也常常向Cartan请教. Cartan当时关心的是, 他们在教学中应在多大程度上推广Stoke公式. 这个公式写作其中是一个微分形式, 是它的导数, 是它的积分定义域, 而是的边界. 如果是无穷次可微可定向的球面, 是无穷次可微的形式, 这个公式并不困难. 这个公式的特殊情况已经出现在经典的论著中, 但他们并不满足于此.Élie Cartan关于积分不变量的书已经继Poincaré之后展现了这个等式的重要性, 并提出要拓展他的范围. 从数学上讲, 这是一个庞大的问题, 比Weil所能想到的要大. 它在同调理论以及de Rham的定理中明显都扮演了重要角色, 但它不仅与它们相关. 这个理论最终打开了分布与流的理论, 乃至层论的大门. 然而, 眼前主要是为了Cartan和Weil在斯特拉斯堡教学的问题. Weil对Cartan说:“我们五六个朋友都在不同的学校开同样的课, 我们一起来彻底把这个问题解决了吧, 以后我就不用回答你的问题了.” Weil当时并不知道Bourbaki就在这一刻诞生了.乔治·德拉姆(Georges de Rham, 1903-1990)是一位瑞士数学家, 以其对微分拓扑学和代数拓扑学的贡献而闻名. 1931年他证明了以他的名字命名的德拉姆定理, 确认德拉姆上同调群是拓扑不变量. 这结果从亨利·庞加莱和埃利·嘉当的观点已经隐约料到, 也有不少人试图证明. 这定理对霍奇理论和层理论的发展影响最深. Raoul Bott是这样描述德拉姆定理的: 从某种意义上说, 以他的名字命名的著名定理主导了他的数学生活, 事实上, 它主导了整个世纪的数学生活. 登山是德拉姆一生的爱好, 并同他的数学一样, 达到了世界级的水平, 在登山圈里享有盛名.尼古拉·布尔巴基(Nicolas Bourbaki)是20世纪一群法国数学家的笔名. 布尔巴基的目的是在集合论的基础上, 用最具严格性, 最一般的方式来重写整个现代高等数学.Weil、Cartan、Delsarte、 Chevalley、Jean Dieudonne, 还有其他几个人定时在巴黎会面. 他们在圣米歇尔大街的一家餐馆聚会. 上述提到的人都和Bourbaki一起走到了最后, 也就是Bourbaki五十岁的时候. 这是Bourbaki为自己定下的退休年龄. 之后, 人们将这些人称为“创始成员”.组建Bourbaki的计划的实质到底是什么, 其实Weil他们刚着手去做的时候也不是很清楚. 最开始, 他们的目标在某种意义上是为了教学, 主要是为本科水平的数学教学理出一些大的脉络. 为了编写一本本科水平的分析教材, 他们在巴黎聚会, 确定章节的标题并分配任务. Bourbaki会要求其合作者对许多主题进行报告, 他们逐渐意识到, 如果要以合适的广度来讨论这些报告, 仅靠在巴黎的聚会是不够的. 大家一致决定拿出暑假的两周找个合适的地方一起度过. 于是在1935年7月, Bourbaki开了第一次大会.在德国, 一些数学家组织了一些“工作营” . 之后这种组织形式在全世界传播开来, 成了官方资助用于值得称赞的科研活动的常见方式之一.在Bourbaki的第一次大会之后, Weil去莫斯科参加了“第一届国际拓扑大会”. Weil对拓扑研究不多, 不过他和Pavel Aleksandrov关系很好, 所以他不会对拓扑的迅速发展一无所知. 在苏联Weil认识了盲人数学家Lev Pontryagin, 一位快活又开放, 脑子里满是想法、思想自由独立的年轻人. Weil又见到了曾经在德国见过的Lev Shnirelman, 这是一位有才华的数学家. 在此次大会上, Hassler Whitney作了球面上的纤维空间的重要报告, James Alexander和Andrey Kolmogorov各自独立地提出关于复形于局部紧空间的上同调环.列夫·庞特里亚金(Lev Pontryagin, 1908-1988)是一位盲人俄罗斯数学家, 在代数和拓扑学方面做出了重要贡献. 1934年, Pontryagin参加了Elie Cartan在莫斯科的讲座, Cartan的演讲是围绕计算经典紧致李群的同调群的问题展开的. 第二年, Pontryagin能够使用与Cartan建议的完全不同的方法来解决这个问题. 庞特里亚金的名字与许多数学概念联系在一起。配边理论的基本工具是庞特里亚金-托姆结构. 关于流形特征类的一个基本定理处理的就是称为流形庞特里亚金特征类的特殊类.列夫·史尼尔曼(Lev Shnirelman, 1905-1938)是白俄罗斯数学家, 对哥德巴赫猜想做出了重要贡献. Shnirelman于1930年在数论中引入了重要的新思想. 利用这些关于自然数序列紧致性的思想, 他能够证明哥德巴赫猜想的一种弱形式. L A Lyusternik与Shnirelman在1927年至1929年间共同撰写的一系列论文中, 对变分学中的拓扑方法做出了重大贡献. 他们还提出了一种新的拓扑不变量, 即点集范畴.哈斯勒·惠特尼(Hassler Whitney, 1907-1989)是一位美国数学家, 在流形、嵌入、浸没、特征类和几何积分理论方面做了重要工作. 他于1935年在微分拓扑学方面进行了基础工作, 特别是, 他证明了关于在欧几里德空间中嵌入维微分流形的理论, 并与Stiefel同时发现了特征类. 如今Stiefel-Whitney特征类一词经常被使用. 随后吴文俊等拓扑学家做出了贡献. 除了在数学研究的前沿进行研究外, 惠特尼还对数学教学感兴趣. 惠特尼积极参与小学阶段数学教育. 他就这一主题做了多次讲座, 为教师开设了暑期课程, 有一次还花了四个月的时间为七年级的学生教授代数预科数学.詹姆斯·亚历山大(James Alexander, 1888-1971)是一位从事拓扑学研究的美国数学家. 他最出名的是被称为亚历山大多项式的结理论不变量. Alexander-Spanier同调理论, 由亚历山大于1935年提出, 斯潘尼尔于1948年将其推广到今天的形式. 同样在1935年左右, 亚历山大发现了上同调理论, 与柯尔莫哥洛夫基本同时, 该理论在1936年莫斯科会议上宣布.安德烈·柯尔莫哥洛夫(Andrey Kolmogorov, 1903-1987)是概率论的开发者之一. 后来, 他利用这项工作研究了行星的运动和喷气发动机的湍流. 柯尔莫哥洛夫在数学的一系列不同领域做出过贡献. 在拓扑学中, 柯尔莫哥洛夫独立于Alexander引入了同调群的概念. 1934年, 柯尔莫哥洛夫研究了有限胞腔复形的链、共链、同调和上同调.在1936年发表的进一步论文中, 柯尔莫哥洛夫为任意局部紧致拓扑空间定义了同调群. 在这一领域另一个最重要的贡献是他在1935年莫斯科国际拓扑学会议上宣布的同调环的定义. 1953年和1954年, 柯尔莫哥洛夫发表了两篇关于应用于哈密顿动力学的动力系统理论的论文. 这些论文标志着KAM理论的开始, KAM理论以Kolmogorov、Arnold和Moser的名字命名.随后Weil去了日内瓦参加一个拓扑的研讨会. Elie Cartan和Georges de Rham的报告给人留下深刻印象. Weil对Georges de Rham介绍的几个在代数几何上应用的定理以及流的概念心服口服. 上同调环的概念也从这里衍生出来, 尽管没有Alexander和Kolmogorov所研究的那么广泛, 但由于用微分形式来表达, 它变得更加具体. 这是Weil研究流形时最喜欢的工具之一. Weil自己对于日内瓦研讨会的贡献是关于群和齐性空间上的不变度量, 取自于他在1934年编写的《群上的积分》一书.在斯特拉斯堡, Weil教一门代数数论的课, 这可能是20世纪初以来在法国大学里开设的第一门算术课.九月, Bourbaki的成员们聚在一起开“埃斯科里亚尔大会” , 这是他们本来打算去开会的地方, 如果西班牙内战没有爆发的话. 在这次和下次大会上, 他们制定了工作的方法. 每一个主题都会在一个初步报告的基础上并在大会讨论后, 指定一个作者. 作者会给出一个草稿, 在大会上重新宣读并讨论, 草稿多多少少会被彻底修改, 或是像不止一次发生过的那样, 被全部否定. 大会将指定另一个作者, 根据收到的指示写第二篇稿子, 之后就以此类推. Bourbaki第一次送印的文本是关于集合论的, Weil告诉学习集合论的女儿他与代表空集的符号大有关系, 属于挪威字母, 而他是Bourbaki里唯一对此有所了解的人. “埃斯科里亚尔大会”上确定了之后写作的标准, 甚至包含排版格式. 他们的原则是, 在每一章后面不仅又不同难度的练习, 而且还有一个“历史小论”, 它是之后“历史注释”的前身. 大家采用了这以原则, 让Weil十分满意, 因为数学史或者说对过去伟大数学作品的阅读, 很久以来都让Weil十分心醉.在Bourbaki当时即将着手去进行的任务名单中, 结构这一概念以及与之相关的同构的概念的采用, 获得了可观的进步. Bourbaki最初的工作像一束新光线, 照在许多当时仍然十分混乱的主题上. “同构”这个词的意思在每个理论里甚至都不同. 这里究竟是群的简单结构, 还是拓扑空间, 乃至于更复杂的结构, 从环一致到实数域和拓扑向量空间, 在Bourbaki之前还没有被说明过, 而这些是需要说明的.在1936年剩下的时间里, Weil都在准备美国的旅行. 从1930年起, Weil就和von Neumann保持着友好的关系, 他邀请Weil于1937年去普林斯顿的高等研究院访问. Weil要在普林斯顿做一系列讲座, 讲座的内容是即将发表在《Journal de Liouville》的论文里的问题. 这个杂志就是《Journal de mathématiques pures et appliquées》, 是Joseph Liouville于1836年创建的法国数学月刊, 在法国通常称为《Journal de Liouville》.普林斯顿今天的气氛仍然十分国际化, 在1937年更是如此. 高等研究院当时还没有自己的建筑, 学校在由Oswald Veblen精心管理的旧数学系大楼找了一个适宜的地方. Hermann Weyl听了Weil的报告, 让他十分受宠若惊.奥斯瓦尔德·维布伦(Oswald Veblen, 1880-1960)对射影几何、微分几何和拓扑学做出了重要贡献. 爱因斯坦的广义相对论出现后不久, 维布伦就将注意力转向了微分几何. 这项工作在相对论中得到了重要的应用, 他的大部分工作也在原子物理学中得到了应用. 他的著作《二次微分形式的不变量》是对黎曼几何的系统处理, 而他与学生Henry Whitehead共同撰写的《微分几何的基础》给出了可微流形的第一个定义.赫尔曼·外尔(Hermann Weyl, 1885-1955)使用矩阵表示法发展了连续群的概念, 通过将群论应用于量子力学, 他建立了现代学科. 他的研究工作几乎遍及整个数学以及相对论、量子论、哲学、科学史等课题. 他的许多工作成为20世纪一系列重要数学成就的出发点. 陈省身回忆他和外尔的交往时写道：“他当然知道我的名字和我的一些工作. 我对他是十分崇拜的… 外尔很看重我的工作，他看了我关于高斯-博内公式的初稿, 曾向我道喜. 我们有很多的来往，有多次的长谈，开拓了我对数学的看法. 历史上是否会再有像外尔这样广博精深的数学家, 将是一个有趣的问题.”1937年9月Bourbaki又在尚赛重聚. 在Bourbaki这一年讨论的所有问题中, 既有一般意义上的拓扑学, 也有拓扑向量空间. Bourbaki为Weil的一首十四行诗提供了灵感:假设一个向量的重数一个域独自地、抽象地、交换地作用对偶在远方, 孤独而平淡寻找同构, 发现它很叛逆忽然涌现出双线性的火花从中诞生了双结合运算符所有的向量, 被囚禁在积的网中将无休止地庆祝更美丽的结构但基扰乱了这首空中的赞歌心烦意乱的向量有了坐标嘉当不知所措, 完全不懂就这样结束了, 算子和向量都完蛋了一个不纯的矩阵断气了, 赤裸的域在它所赋予自己的法则范围内, 返回到自己身上Weil与Jean Delsarte建立起了法国数学学会在东部的分支, 直到二战之前, 都一直轮流在南锡和斯特拉斯堡组织会议. 最成功的一次要数Carl Siegel做的有关二次型的讲座.Hadamard要退休了, 他的职位就空缺出来, Weil自忖配的上这个职位, Cartan和Delsarte都鼓励Weil去申请. Lebesgue也觉得他可以去申请. 不巧的是此时Weil参与到一场涉及法国科学研究中心(CNRS)的论战里. 这最终导致Mandelbrojt成为Hadamard的继任者.1939年Weil一家与Lars Ahlfors一家在芬兰一起度过几周. 随后受Rolf Nevanlinna邀请去他的离赫尔辛基不远的乡村别墅住了几天. 在芬兰期间Weil险些被当作间谍而处决, 多亏Nevanlinna而保全了性命, 但是被遣送到瑞典. 1940年1月Weil从挪威乘船来到英国纽卡斯尔. 在去法国勒阿弗尔的船上遇到了Paul Langevin和Maurice Frechet, 当Weil还在高师的时侯, 他和同学们就特别尊敬Langevin. Frechet告诉Weil:“在伦敦, 大家说你在芬兰做间谍时被抓了现行. 但我不信, 如果是这样的话, 芬兰人会把你枪毙的, 但他们没有, 所以你不可能是间谍.” Weil觉得他的公理式推理无懈可击. 2月中旬Weil被转到鲁昂的监狱. 在狱中Weil修改了《群上的积分》的校样. 4月份Weil关于代数曲线的对应的想法有了进展, 他觉得应该在《Comptes rendus de l’Academie des Sciences Mathematiques》上发表结果的概述, 于是他向Elie Cartan提交了结果概要. 5月份经审判后Weil来到瑟堡执行缓刑服役, 每天的任务就是给火车装炮弹. 6月初Weil来到一个炮兵连服役. 空闲时间他会读Solomon Lefschetz关于拓扑和代数几何的书. 就是William Hodge经常评论说书里的重要结论都是正确的, 其他的全是错的那本书. 6月份Weil先是来到英国特伦特河畔斯托克不远的营地, 后又来到布里斯托, 并且成了连队的翻译. 7月底Weil来到伦敦的白城营地. 10月份Weil回到了法国并且退了伍.拉斯·阿尔福斯(Lars Ahlfors, 1907-1996)是芬兰数学家, 对复分析做出了重要贡献, 是首批菲尔兹奖获得者之一. 阿尔福斯的文章提到:“1936年, 在奥斯陆举行的国际大会上, 就在颁奖典礼前几个小时, 我被告知我将获得菲尔兹奖有史以来最早颁发的两枚奖牌之一, 这让我大吃一惊. 当时的声望可能还不如现在, 但无论如何, 我感到自己被挑出来了, 非常荣幸. Caratheodory的引文明确提到了我的论文Zur Theorie der Überlagerungsflächen, 该论文为Nevanlinna的亚纯函数理论提供了一些新的见解. 这个奖项在很大程度上增强了我对工作的信心.”罗尔夫·内万林纳(Rolf Nevanlinna, 1895-1980)是一位芬兰数学家, 以他的复分析工作而闻名. 内万林纳理论的主要结果出现在1925年的一篇100页的论文Zur Theorie der meromorpen Funktionen中. Weyl将这篇论文描述为二十世纪为数不多的伟大数学事件之一. Lars Ahlfors在20世纪20年代下半叶师从Nevanlinna, 于1930年获得博士学位. Ahlfors对Denjoy猜想的证明, 使他在1936年获得了菲尔兹奖章，这是遵循Nevanlinna在苏黎世时提出的建议. 内瓦林纳于1937年在赫尔辛基以西约45公里的洛哈买了一栋避暑别墅, 这成为了许多来访的数学家在夏天度过时光的地方.莫里斯·弗雷歇(Maurice Fréchet, 1878-1973)对点集拓扑学做出了重大贡献, 定义并创立了抽象空间理论. 弗雷歇还对统计学、概率论和微积分做出了重要贡献. 弗雷歇几乎与本世纪的每一位数学家都有通信, 保存在巴黎科学院档案馆的惊人信件揭示了当代数学的起源和演变. 与中国数学家樊畿合著的Introduction à la Topologie Combinatoire是一本有趣的组合拓扑书, 读者只需很少的数学准备即可阅读. 讨论的主题是: Jordan曲线定理、映射着色问题、Euler特征和曲面分类. 这些证明非常直观, 并不完整. 其中包含了许多历史评论.威廉·霍奇(William Hodge, 1903-1975)是剑桥大学的Lowndean天文学和几何学教授, 他的主要兴趣是代数几何和微分几何. 1930年发表的论文On multiple integrals attached to an algebraic variety为霍奇带来国际影响力. 但是普林斯顿的莱夫谢茨不不相信这个结论时正确的. 后来霍奇访问普林斯顿的时候, 花了整整一个月的时间才说服莱夫谢茨他是对的. 一旦被说服, 莱夫谢茨公开承认了自己的错误, 并对霍奇的工作给予了非常慷慨的赞扬. 访问美国后, 霍奇于1932年返回英国剑桥. 1935年, 他当选为剑桥彭布罗克学院的研究员. 他有很重的教学负担, 但在此期间, 他发展了几何、分析和拓扑学之间的关系, 并在调和积分理论方面做出了一些最令人难忘的工作.美洲Bourbaki最近的一次大会还是在1938年9月的迪约勒菲. Bourbaki的内部公报由Jean Dieudonné撰写并发行了第一期, Bourbaki的长篇论著的第一卷已经出版, 为了纪念欧几里得, 他们把这本书叫做《Eléments de Mathématique》. 当时第二卷即将出版. 在1940年秋天, Bourbaki需要进行总结, 并在条件允许的的情况下把大家组织起来, 以便继续进行工作. Bourbaki决定召开一次大会, 并让Laurent Schwartz加入他们的队伍, 他是一位杰出的年轻数学家.劳伦特·施瓦茨(Laurent Schwartz, 1915-2002)以其在分布理论方面的工作而闻名. 施瓦茨在1944-45学年在格勒诺布尔理学院任教, 然后搬到南希, 在那里, 在 Jean Delsarte和Jean Dieudonné的推荐下, 他成为了理学院的教授. 正是在他职业生涯的这一时期, 他发表了关于分布理论的著名著作. 施瓦茨自己的回忆是这样的: 在这个特别的夜晚, 我对自己充满信心, 心中充满了兴奋. 我迫不及待地向Henri Cartan解释一切, 他…住在隔壁. 他热情地说:“你来了. 你刚刚解决了微分的所有困难. 现在我们再也不会有没有导数的函数了.”1941年3月Weil全家来到纽约, 洛克菲勒基金会发给他2500美元的年薪, 并给他在哈弗福德学院安排一个无薪职位, 理由是Weil对美国的教学方法缺乏经验. 根据计划, Weil将在9月开学时前往哈弗福德学院. 在此前, Weil和家人去了普林斯顿, 他认识那边的许多数学家. 由于在他身上发生的种种事情以及一些流言蜚语, 导致一些人对他很是冷淡. 不过, 与Siegel和Chevalley重逢令Weil感受到难以用语言形容的快乐. Siegel在1940年春天离开了哥廷根, 先去了挪威后来到美国. 至于Chevalley, Lefschetz为他在普林斯顿争取到一个助理教授的职位. Chevalley提议和Weil共享数学系大楼的办公室. 在很长的一段日子里, Weil都会来到这间办公室和Chevalley分享自己思考的成果.1942年9月Weil的妻子住院生孩子, Chevalley帮Weil做家务. 他俩一面擦盘子, 一面讨论代数几何. 之后不久, 陈省身去看望了Weil. 陈省身的这次到访是一段长久友谊的开始, 他们双方都受益匪浅.陈省身(Shiing-shen Chern, 1911-2004)是中国数学家，在几何学和代数拓扑学方面做出了重要贡献. 陈省身的数学兴趣异常广泛, 他对几何的许多领域做出了重大贡献, 包括古典和现代. 其中最主要的是：几何结构及其等价问题, 整体几何, 欧几里德微分几何, 极小曲面和极小子流形, 全纯映射, 外微分系统和偏微分方程, 高斯-邦纳定理以及示性类. 他对微分形式技术的绝对精通, 以及他在解决几何问题时对这些技术的巧妙应用, 就像一件神奇的魔法斗篷, 由他的伟大老师Élie Cartan传给他. 这使他能够深入探索其他人无法进入的新数学领域.Weil觉得自己所属的教学机构用大学这个漂亮的名字提高身价, 事实上它只是属于伯利恒钢铁厂的一所二流的工程师学校. 对于Weil和他的同事来说, 要做的事情只是喋喋不休地重复一些愚蠢教材里的老套内容, 并让这台蹩脚文凭的分配机器继续运转. 讲课的时候, 当Weil程式化地问大家有问题没有, 几乎总有人问“考试会考吗?”1945年1月Weil一家去了巴西的圣保罗, 3月份开始上课, 教授高级分析课程. 1947年秋天Weil来到芝加哥. 1958年Weil来到普林斯顿高等研究院. 1976年Weil在高等研究院退休.