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对于我们普通人而言，数学是一门既熟悉又陌生的学科。熟悉是因为数学处处可见、处处可用，升学考试还不得不学。陌生是因为我们自以为很懂数学，有时却连一个简单的数学概念都描述不清。
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图一
回忆模式：什么是”1″？什么是”直线”？什么又是”无穷小”？你可能会觉得这三个问题很简单，因为它们的确很常见、你或许还能想象得到。但是你定义不了它、而只能靠下面的描述。比如，从1个苹果、1支笔中得到数字”1″，从直尺、线条中得到”直线”，从递归的角度理解”无穷”。事实上，”1″、”直线”、”无穷”这些数学概念在自然中压根儿就不存在，它们都是数学家对物理世界高度抽象后的产物，是一个理想化的概念。这些抽象的数学概念有没有可能被定义呢？无数的数学家为之绞尽脑汁，但都以失败而告终。最后，数学家们妥协了，既然无法定义，那干脆就不定义了，大家能理解就行。这样的处理方式，看似随意，却是很负责任的。我们可以从数学家二千年来对”平面”定义的打破、重建、回归本源来窥探一二。
图二
一、平面的朴素概念
几何学起源于古埃及的田地测量，测量就需要用到图形（如三角形、四边形）、面积等相关数学概念[1]。由此可以推测出古埃及人已经有了对几何体”面”的直观意识。”面”是向”平面”过渡的关键一步。但是受限于时代，古埃及人并没有做到更多，这样的关键一步仍旧得在古希腊的沃土上迈出。
图三
第一个抽象出”平面”概念的学者是生活在公元前5世纪的哲学家巴门尼德（Parmenides of Elea），他将几何对象分为三类：直的、曲的、混合的。其中，如果一个二维图像是”直的表面”，且直线与之可以在任意方向重合，那它就是一个”平面”。
图四 巴门尼德
这样的定义立足于”直”，并借助直线表达了平面具有的两个特点：平面是平的、平面可以无限延展。但是巴门尼德没有给出更多的关于”平面”的信息。于是到了公元前3世纪，”几何学之父”欧几里得（Euclid，约公元前330年—公元前275年）在《几何原本》中采用了下面完全不同的定义[2]：
"面"只有长度和宽度，而"平面"是与其上直线一样平放着的面。欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!
图五
巴门尼德和欧几里得关于”平面”的定义是朴素的，基于人们对于平面的直观认识，但也有一个缺点：用词不够清晰，以至于在命题推理中不能使用。后续的古希腊的数学家（如海伦）试图改变欧的定义，但是也带来了其他的缺点——重复性判断（莱布尼茨）。自海伦以后的一千多年，几何学没有太大的发展，人们关于”平面”的概念自然就讨论得少了，这一状况要直到17-18世纪才有所改变。
图六 莱布尼兹
二、平面的构造性定义
17世纪的大数学家莱布尼茨关注到了欧几里得对于”平面”概念的定义缺陷，以及海伦定义的啰嗦（海伦定义：平面是具有以下性质的面，它向四周无限延伸，平面上的直线都与之相合，且若一条直线上有两点与之相合，则整条直线在任意位置与之相合）。经过深思熟虑，他给出了”平面”以完全不同的定义方式：
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!平面是一组这样的点，它们到两个定点的距离相等。
图七
注意到：如果A、B为空间中两定点，则”到A、B距离相等的点”可以组成与线段AB垂直的平面α。【证明如下：如图，若M∈α，O为AB的中点，AB∩α=O，且AB⊥α，则OM为△ABC的中线和垂线，因此MA=MB。】
这个定义完全是”构造性”的，不但很简洁，而且从三维空间来给出定义，是对平面定义的一大创新。这一时期及18世纪，在莱布尼茨定义的引领下，很多数学家都给出了平面其他形式的”构造性定义”。
另一个影响比较大的是18世纪的法国数学家傅里叶给出的：
"平面由经过直线上一点，且与直线垂直的所有直线构成"。在此基础上，傅里叶推导出了平面的一些重要性质。
图八 傅里叶
莱布尼茨、傅里叶等给出的”构造性定义”，较之欧几里得、海伦的朴素定义，表达简洁且可用于推理。但是先于”平面”而给出”垂直”等概念是有些不太恰当的。因此，他们的构造性定义也没有推广开来。相反，另一位看似不顶尖的英国数学家给出的”包含式”定义却大受好评。
三、平面的包含式定义
18世纪，英国数学家辛松给出了平面的定义：
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!"平面是具有下面性质的面，通过其上任意两点的直线完全包含在该面上"
“辛松定义”与海伦的定义神似，但具有简洁、直观和可推导性双重优势。因此”辛松定义”被18世纪的大部分教材所采用，勒让德还利用他的定义证明了欧几里得《几何原本》中的三个重要定理。
不过随着时间的推移，数学家们也发现了一些问题。如，该定义是首先确定了平面，然后再通过其上的直线来定义。但最致命的是”辛松定义”还是存在逻辑问题，下图为克雷尔推理[3]。
图九 克雷尔推理
数学家们又郁闷了，好不容易找到一个好的定义，却仍然有缺陷。包括高斯、罗巴切夫斯基在内的著名数学家又一次开始寻求平面新的定义方式，但一切都是徒劳，他们都没有找到一个即使是令自己满意的定义。问题到底出在哪里呢？他们不知道答案。这个问题需要一个更具有现代数学思维的数学家来给出，他就是希尔伯特。
图十 希尔伯特
四、平面的公理化定义
经历了2千多年，数学家们反复的折腾，让希尔伯特明白一个道理。这么原始的概念是没法定义的，如果希望彻底的弄明白，那就只有一条路——不加定义，而只描述。这就是希尔伯特的公理化系统。在《几何基础》一书中，希尔伯特将点、直线、平面作为原始性概念来研究，并把《几何原本》中的一些命题当作公理来处理（辅助理解平面的概念）。
公理化定义经过20世纪的进一步完善，逐步得到了大家的认可，并被写入各地区教材。我们高中时候必修2所学的平面概念也是根据希尔伯特的描述性定义来编写的。
争论了两千多年，平面的定义在20世纪才被认为是弄清楚了，直观、简洁、可推理、以及逻辑问题在这一系列争论中扮演了重要的角色。但是更本质的问题是，一个简单的数学概念为何定义得如此之难？我认为一个关键点是基础概念的基础性。既然基础概念是”起点”，为什么还要定义它呢？这就是希尔伯特成功的关键。
图十一
再者，寻求一个更基础的基础来定义现在的基础是一件费力不讨好的事情，因为它已把原来的基础变得不再基础，而这样的过程也会无休止的进行下去，所谓”起点”、所谓”基础”，如果不人为规定，将会混乱得一塌糊涂。
对于平面定义你有什么看法或者心得呢？不妨留言告诉小编吧！
主要参考文献：
[1]. 世界数学通史.梁宗巨.辽宁教育出版社.2015.1
[2]. 几何原本.欧几里得.人民日报出版社.2009.3
[3]. 数学史融入立体几何教学的行动研究——以直线、平面为例.沈中宇.2017.5
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