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HPM视角下《对数的概念》教学设计
作者 : 王欣童
作品编号：023
一、教材分析
“对数的概念”这节课是普通高中数学教科书人教版A版必修第一册中第四章第三节对数的概念的第一课时，学习对数的概念是对指数概念和指数函数的回顾与深化，对数概念的学习，不仅为对数函数的学习做好知识基础，还为今后的复数概念的学习提供研究方法。
二、学情分析
从知识储备上，首先学生已经学习了函数的概念，表示方法与一般性质，对函数有了初步的认识；其次学生学习了分数指数幂和指数函数，了解了研究函数的一般方法，积累了从具体到抽象，从特殊到一般的研究经验，这为本节课的学习打下了坚实的基础。
从学生思维能力上，高一学生正经历从形象思维到抽象思维的过渡阶段，学生具备了一定的逻辑思维能力，但整体思维维度还比较低，本节课是提高学生思维水平的良好题材。
三、教学目标
1.理解对数的概念，了解对数与指数运算的互逆关系，及常用对数和自然对数。
2.熟练地进行指数式与对数式的互化，在解决具体问题中体会引入对数的必要性。
3.在学习过程中感受化归与转化、数形结合、特殊到一般的数学思想，学会用相互联系的观点辩证地看问题。
四、教学重点与难点
教学重点：对数的概念及性质
教学难点：对数式和指数式的互化
五、教学过程
(一)、创设情境，引入新知
教师：上课之前老师要请两位同学计算一下PPT上的两个算式，同时会给这两位同学一个小纸条，其中一个纸条有buff，会帮助他几秒钟就能得到答案。（PPT呈现16×256=？4096÷256=？）
师生活动：学生1通过列式计算3分钟得出了结果，学生2利用小纸条上的buff10秒钟得出了结果。
学生：老师，他拿到的是什么buff啊？怎么能这么快就算出来了。
教师：小纸条上面其实就是这个表格。
：老师，为什么纳皮尔会创造出了对数表呢？
：那就需要我们一起走进那个时代，一起看看为什么纳皮尔创造出了对数表。十六世纪，哥白尼的太阳中心说开始流行，天文学成为当时炙手可热的学科。受限于当时的常量数学，所有的天文学家需要花费大量的时间和精力去计算这些复杂繁琐的天文数字，因此浪费了很多时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数，并且制作了用于辅助计算的对数表。
：老师，那对数又是什么意思呢？对数到底是什么呢？
：那就让我们带着问题一起学习今天的新课，对数的概念。
：学生通过前面指数学习所掌握的指数，独立计算式子，学生能够很容易的回答出第一行和第二行前两个式子。
：那么2的几次方等于3，2的几次方等于5呢？老师通过几何画板绘制了指数函数y=2x的图像，其中A,B两个点分别表示y=3,y=5的点。通过图像我们可以看到，当y=3,y=5时，他们都有x对应，并且存在唯一的x与之对应。
：学生通过几何画板绘制的y=2x的图像，观察当y等于3和5的时候，x是存在并且唯一的。总结出指数运算逆运算的特点，当幂为负数或0时，括号内的数不存在；当幂为正数时，括号内的数存在且唯一。
：为了求出x，我们要引入一个新的符号对数。2x=3，其中x=log，读作以2为底3的对数。2x=5，其中x=log5，读作以2为底5的对数。
：如果把2换成，把5换成N，这时候x怎么表示呢？
：引导学生把数字换成字母怎么表示x，同时得出对数的概念。一般的，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做底数，N叫做真数。教师向学生强调对数的读法和写法。
：我们现在知道了对数是求解指数的运算，所以对数和指数之间有着密切的联系，那么a，x，N在指数式和对数式中的名称一样吗？
：学生已经掌握了指数式中每个字母的名称，在对数概念的讲解时也了解到每个字母的的名称。教师带领学生总结并对比字母a，x，N在指数式和对数式中的名称的相同与不同。
：在前面，我们已经学习了指数式中每个字母的取值范围，那大家还记得吗？
：引导学生得出指数中每个字母的取值范围，底数a>0,且a，幂N>0，指数x∈R恒成立。
：根据等价关系，我们知道指数式中每个字母的取值范围同样适用于对数式中每个字母的取值范围。因此我们可以得到对数式中每个字母的取值范围为底数a>0,且a，真数N>0，对数x∈R
：根据等价关系，我们同样能得出对数的重要结论。
：带领学生给出指数中的相关性质，幂N为正数,a0=1,a=a，类比得出对数的性质。
：小花在做题的时候遇到了这两个奇怪的数，大家通过预习能不能告诉她这两个是什么数？
:学生通过课前预习能够说出这两个数为常用对数和自然对数，老师带领学生深化常用对数和自然对数的概念，并向学生讲述自然对数中e的用途。
：掌握了知识，我们一起来运用一下。把下列指数式化成对数式，对数式化成指数式。
：指数式与对数式的互化，就是需要找出已知式子中的a，x，N，放入未知式子即可。那大家来说一下第一个指数式中的a，x，N分别指的是多少？
：学生对照公式能找出a=5，x=4，N=625，接着代入对数式中即为log5625=4。
：接着请同学们完成第二个小题。
师生互动：学生代表回答出结果，
，x=m，N=5.73，化成对数式为
，教师给予点评。
：接着我们来看第三个小题，这是一个对数式，我们需要将其转化为指数式，因此我们需要找到这个式子中的a，x，N。那大家一起说一下a，x，N分别是多少？
：根据第一个题，同学们已经能找到式子中的a，x，N，学生有能力找到这个对数式中的a，x，N。教师引导学生找到对数式中的a=10，x=-2，N=0.01，从而得出指数式10=0.01。
：接着请同学们独立完成第四个小题。
：学生代表回答结果，a=e，x=2.303，N=10，化成指数式为e2.303=10，教师及时给予点评。
：看来同学们已经掌握了指数式和对数式之间的转化，接着来看典例精析2。这四个式子都是对数方程，其中所处的位置分别为底数、真数、对数，但是现在我们并没有学习对数的运算律，因此我们可以将其转化为指数方程。
师生活动：学生独立将第一个对数方程转化为指数方程，得到
，教师引导学生64就指的是
，经过转化可以得到
。接着学生两个人一组完成剩下的三个小题，教师进行巡视，学生代表回答，并给予点评。对于哪个小题不会的，教师带领学生及时解决。
：教师带领学生总结本节课的知识，并布置必做作业和选做作业。
：这节课我们只学习了用对数去表示x，那x到底结果是多少呢？请同学们预习4.3.2对数的概念。
】通过课堂小结，使学生对本节课再一次进行回顾，加深知识的掌握。必做题和选做题的布置，是希望全体学生熟练掌握对数的概念、对数式和指数式的转化。接着教师抛出问题，让学生对后面的知识产生求知欲。
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