高中数学：每天五个知识点 – 第10天

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知识点 1：反函数

通俗解释： 反函数是把函数“倒过来”，输入变输出，输出变输入。就像你买东西花了10块，反过来是退货拿回10块。

⭐ 重点： 反函数存在的前提是原函数单调（一一对应）。

生活例子： 你花x块买了1斤苹果，价格f(x) = 5x，反函数是f⁻¹(y) = y/5，算你花多少钱买了1斤。

计算例题： 函数f(x) = 2x + 1。 问：反函数是什么？ 答：设y = 2x + 1，解x = (y – 1)/2，反函数f⁻¹(x) = (x – 1)/2。

知识点 2：指数函数

通俗解释： 指数函数是底数固定，指数变动的函数，像y = 2^x。底数大于1时，x越大值越大，像火箭蹿升。

关键： 定义域是所有实数，值域是正数。

生活例子： 细菌分裂，每小时翻倍，1小时后2个，2小时后4个，这就是y = 2^x。

计算例题： 函数f(x) = 3^x。 问：f(2)是多少？ 答：f(2) = 3² = 9。

知识点 3：对数函数

通俗解释： 对数函数是指数函数的“反向”，问“底数几次方等于这个数”。像log₂(8)就是问2的几次方是8。

⭐ 重点： 对数是指数的逆运算，定义域是正数，值域是所有实数。

生活例子： 你存钱翻倍，100块变200块用了多久？用log₂(200/100)算时间。

计算例题： 函数f(x) = log₂(x)。 问：f(4)是多少？ 答：log₂(4) = 2，因为2² = 4。

知识点 4：幂函数

通俗解释： 幂函数是x的几次方，像y = x²或y = x³。指数不同，形状就变，平方是抛物线，立方是“S”形。

关键： 定义域和值域看指数是奇数还是偶数。

生活例子： 你画正方形，边长x，面积y = x²，这就是幂函数。

计算例题： 函数f(x) = x³。 问：f(-2)是多少？ 答：f(-2) = (-2)³ = -8。

知识点 5：函数图像的平移

通俗解释： 函数图像平移是把图“搬家”。f(x) + a是上下移，f(x – b)是左右移。就像你把桌子往左挪一米。

⭐ 重点： 加减在x里左右相反，加减在外上下同向。

生活例子： 你家窗帘高度y = x，挂高了2米变y = x + 2，图像就往上移2。

计算例题： 函数f(x) = x²，平移后g(x) = (x – 1)² + 2。 问：怎么移的？ 答：x – 1是右移1，+2是上移2。

练习题：

1. 函数f(x) = 3x – 2，反函数是什么？
2. 函数f(x) = 2^x，f(3)是多少？
3. 函数f(x) = log₃(x)，f(9)是多少？
4. 函数f(x) = x⁴，f(-1)是多少？
5. 函数f(x) = x²，变为f(x + 2) – 1，怎么移的？