数学定理的命名规律——布朗法则

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老李的前言：本文原为刊载于美国数学会《Math Horizons》杂志，2022年11月volume 30上的一篇趣文。原标题为：Brown’s Law of Mathematical Eponymy; or, Whose Theorem Is It Anyway?。作者是Ezra Brown 和 Adrian Rice，文末有作者介绍。

本文描述了数学定理命名方面的“无序”，很多数学定理的名称并不是以其首先发现或证明者的名字命名的。

很多《Math Horizons》的读者会熟悉“斯蒂格勒定律”（ Stigler’s law of eponymy），这个名字是由统计学家斯蒂芬·斯蒂格勒在1980年首次提出的。它声明“没有科学发现是以其最初的发现者命名的。” 我们可以用这个法则的例子填满整篇文章，但以下三个例子应该就足够了：

1）Venn图并不是约翰·文恩首次绘制的；

2）柯西-黎曼方程既不是柯西也不是黎曼首次提出的；

3）埃德蒙·哈雷并不是第一个观察到哈雷彗星的人。

比“斯蒂格勒定律”稍微不那么出名的是，它本身也是该定律的一个例子：斯蒂格勒将这一发现归功于社会学家罗伯特·默顿（Robert Merton），他在1968年注意到了类似的现象。

更不为人知的是，还有一个专门针对数学的斯蒂格勒定律的版本，我们“谦虚地”提议称之为“布朗的数学命名法则”，以本文的第一作者命名，部分原因是他在2007年4月《Math Horizons》杂志上关于该主题的文章。值得注意的是，这个法则也是早在1968年由数学史学家卡尔·波耶尔首次发现的。我们可以简要地陈述如下：

布朗法则：设n是数学中命名定理和公式的总数，p(n)是以最初发现它们的人（或人们）命名的这些结果的数量。那么：

或者，用外行的话来说，正确命名的数学发现与数学中命名结果的比例非常小。

注意，布朗的法则比斯蒂格勒的法则要弱，后者本质上说的是对于所有的n，p(n) = 0。但这种弱点实际上是一种优势。斯蒂格勒的法则容易受到反例的影响，而布朗法则不太容易受到这种影响。

例如，哥德尔的不完备性定理在数学逻辑中是由库尔特·哥德尔发现和证明的，这立即否定了斯蒂格勒法则的绝对正确性，而布朗法则则相对完好无损。

以下是几个暗示布朗命名法则真实性的例子：

1）事实上，今天被称为de Moivre定理（棣莫弗定理）的：

并非由Abraham de Moivre证明或甚至陈述。它的第一个证明以及当前的表述是由欧拉给出的。

2）同样地，欧拉公式并不是欧拉最先发现的。Roger Cotes几年前就证明了一个等价形式。

3）Cotes是18世纪初期几位使用泰勒级数的数学家之一，顺便说一下，泰勒级数并非由数学家布鲁克·泰勒发现。同样地，麦克劳林级数也不是由科林·麦克劳林首次发表的——他被包括詹姆斯·斯特林在内的其他人抢在了前面。

4）同时，斯特林的阶乘近似公式：

实际上是由Abraham de Moivre发现的！

但当然，总有一些可争议的案例，因此我们将本文的其余部分用于其中一个案例，提出这样的问题：复分析中的“刘维尔定理”是否得名正确？

(图1：约瑟夫·刘维尔）

约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville，1809-1882）是19世纪最优秀的数学家之一。他最著名的是在微分方程中的斯特姆-刘维尔理论、数论中的刘维尔函数，以及他发现的第一个已知的超越数，现在称为刘维尔常数：

他还创立了第一个完全致力于数学的科学期刊（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées），直到今天仍然非正式地被称为刘维尔的期刊。

以刘维尔的名字命名的著名复分析定理是整个学科中最强大、最美丽的结果之一。该定理涉及全纯函数，即复函数是复可微的。它简单地声明，任何有界的全纯函数都是常数。换句话说，如果一个复函数f在任何地方都是复可微的，并且存在一个实数M使得对所有的， |f(z)| ≤ M，那么f必须是常数。

这个结果有一个惊人的简单证明和一些极其有用的结果。例如，代数基本定理的证明几乎可以作为一个推论而得出。

但从我们的角度来看，刘维尔定理的背后故事是有趣的，因为它揭示了布朗数学命名法则精确表述中的一个问题，即确定谁证明了一个定理以及首先证明一个定理意味着什么。

故事的简单版本是这样的。1844年的一天，刘维尔在巴黎著名的科学院（Académie des Sciences）宣读了一篇论文，在论文中，他证明了一个关于椭圆函数的巧妙结果。椭圆函数是一个复值函数f，它是双周期的，意味着存在两个复数ω1和ω2，使得：

f(z + ω1) = f(z + ω2) = f(z) 对所有 。

这意味着椭圆函数在复平面上重复自己，形成一系列相邻的全等平行四边形，其尺寸由两个周期决定（见图2）。

（图2）

如果椭圆函数的所有奇点只发生在平行四边形的顶点，而不是在内部，则该函数是有界的。但刘维尔证明，如果一个有界的椭圆函数是全纯的，那么它必须是一个常数。有人可能会认为这很巧妙。但接下来发生的事情可能更加巧妙。因为刘维尔没有考虑到，当天在场的听众中可能包括当时唯一能与他在天才、生产力和复分析专业知识方面匹敌的法国数学家，那位数学家是奥古斯丁-路易·柯西（1789-1857）。

人们只需上一门复分析的入门课程，就能意识到柯西的名字在这个学科中的深入程度。

（图3. 奥古斯丁-路易·柯西）

这是因为他为实分析和复分析学科贡献了许多基础性成果。而且，他也参与了刘维尔定理的起源，因为在看到刘维尔关于椭圆函数的结果后，他意识到同样的结果应该适用于任何全纯函数。果然，几天后，他走进科学院，并提出了他对刘维尔结果的推广的两个证明，即我们现在称之为“刘维尔定理”的定理。

那么，我们这些年来是不是一直错误地称呼刘维尔定理？刘维尔定理真的应该叫做柯西定理吗？

根据布朗的数学命名法则，现在被称为刘维尔定理的结果更可能被错误地归因于他人。确实，那个确切的结果，即每个有界的全纯函数都是常数，最初并非由刘维尔证明，而是由柯西证明的。然而，这个定理的一个重要特殊情况的最初陈述和演示，以及与柯西的推广精神相同的结果，最初是由刘维尔完整给出的。此外，有人可能会争辩说，如果没有这个特殊情况，柯西可能永远也不会受到他印象深刻的推广的启发。

当然，对我们问题的明确答案不仅取决于证明一个定理意味着什么，还取决于正在证明的定理的版本。因此，刘维尔是第一个发现并证明今天以他的名字命名的结果的早期版本的人，而柯西则是在其现有形式下证明了它。在这种情况下，我们对布朗的数学命名法则的表述可能需要进一步修改。或许更准确的说法是：

以最初发现它们的人（或人们）的名字命名的数学成果在其当前形式下的数量接近于零。

但谁有资格决定一个定理叫什么名字？为什么某些数学家得到认可而其他人被忽视？某些定理最初是怎么得名的？我们留下这些引人入胜的问题供读者探究。谁知道，也许你会提出一个新的法则….

延伸阅读：

关于复分析的最佳入门教材之一仍然是Lars V. Ahlfors的《复分析》，第三版（纽约：麦格劳-希尔，1979年）。参见第122页的刘维尔定理和代数基本定理的证明，以及第7章对椭圆函数的介绍。

关于刘维尔生平和工作的权威资源是Jesper Lützen的《Joseph Liouville 1809-1882：纯粹和应用数学大师》（纽约：施普林格-维拉格，1990年），其中讨论了刘维尔定理的发现，相关内容见第123-124页、534-544页和548页。关于复分析历史的优秀著作是Frank Smithies的《柯西和复函数理论的创立》（剑桥大学出版社，1997年）。

关于更多关于Boyer的…呃，我们是说布朗的数学命名法则，请参阅：H. C. Kennedy，《谁发现了Boyer的法则？》，《美国数学月刊》，第79卷（1972年），第66-67页；以及Ezra Brown，《是谁做的？》，《数学地平线》（2007年4月），第24-25页、第28-29页。

Ezra（Bud）Brown于2017年从弗吉尼亚理工学院退休，在那里他教授数学48年。他是MAA期刊的常客。

Adrian Rice是弗吉尼亚州阿什兰兰道夫-麦康学院的Dorothy和Muscoe Garnett数学教授。他还在MAA期刊上发表了一两篇文章。