高中数学之逻辑——第一讲

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各位同学：

大家好，我们现在开始上课。

我们今天开始讲高中数学中的逻辑部分。

对于什么是逻辑，我们大概需要用几节课的时间来帮助大家梳理下西方思想中的一些点，这些点组成的脉络会让大家明白高中数学中怎么会有逻辑的内容。

毕达哥拉斯学派数的宇宙观，在宇宙中区别了两类事物，一类是可感的事物，一类是可知的事物。

比如一个杯子，它看上去是白色的，用手去触摸它，你感到其表面是光滑的，此时这个杯子于你来说就是一个可感的事物。但是当我继续追问以下问题，这个事物为什么是杯子而不是其他，它为什么是白色的，它触摸起来为什么感觉是光滑的。对于这样的问题，在可感的层面我们是无法回答的。

要想回答这样的问题，就意味着我们的认识要超越可感的层面，比如回答第一个问题就要上升到形而上学的层面，也就是要说明杯子是其所是的依据；回答后两个问题就要上升到自然科学的层面。这样我们的认识就可以在可知的层面深入的回答上面的问题了，与此同时眼前的这个杯子也就由一个可感的事物变成了一个可知的事物。注意，这其中有一个前提即可感的事物未必可知，同样的可知的事物未必可感，这两者之间在我们的精神世界中存在着一条界限。

最终你会认识到杯子之所以是杯子，或者认识到白色和光滑这样的感性认识都可以在可知的层面上找到其相应的根据。而当我们在可知的层面上认识这个杯子，我们就可以用理性去把握它，于是我们对这个杯子认识就加深了。

在这个例子中我们不仅明白了事物存在可感和可知的区分，还看到了可感和可知是有差异的，具体来说可知的世界超越了可感的世界成为人们认识这个世界的主要场所。由此可见人们要想更好的认识这个世界，显然是要在可知的层面去认识。在可知的层面上去认识世界我们才能获得知识，而在可感的层面上去认识世界我们形成的只是意见。这就是柏拉图所说的知识之路和意见之路。

所以数学也好自然科学也好，都是在可知的世界里用理性去把握的东西，这就要求同学们在学习这些知识的时候首先要让自己的认识进入可知的世界，然后再去展开探索，而不是站在可感的层面上向可知的世界提出提出毫无意义的疑问。

比如有学生就经常会问我，老师你讲的这些东西我怎么想不到，或者老师你讲的这些东西以后我怎么能想到。问这样问题的同学，其实就是站在可感的层面上去看待数学了，他指望数学中的内容有一天会自然的出现在自己的感觉当中，这从根本上来说是不符合逻辑的。所以大家需要通过训练首先把自己的认识频道调整到可知的状态，之后再去展开学习，你才会事半功倍。

在区分了可知世界和可感世界之后，我们下面要问的问题是在可知的世界里，怎样运用理性才能保证我们得到的认识是知识而不是谬误，这其中是不是有什么必然的要求？

这个问题实际上是我们对认识方法和认识路径提出的疑问，解决这个问题的最佳方法就是逻辑学，由此可见逻辑学这门科学是人们在认识世界的过程中需要遵循的最根本的路径，它是认识论当中具有方法论意义的科学。从微观的层面来说，逻辑是研究两个概念之间存在怎样的必然联系的科学。

我们下面就简要梳理一下逻辑学发展的大致脉络

第一点我们来说说逻辑产生

古希腊逻辑的产生是西方逻辑史的开端。

早在亚里士多德之前，古希腊学者就已经开始探讨逻辑问题。当时，希腊的民主政治环境使得人们在政治上和法律上的公开辩论成为一种风气，按照一定的逻辑规则辩论的习惯已经形成。

毕达哥拉学派用归谬法证明了正方形的对角线与其直角边的不可公度性，提出了著名的毕达哥拉定理。所谓不可公度性是说如果两个数不能被同一个有理数整除，则这两个数就是不可公度的。另外顺便说一下，数学的命题都需要证明这一定式也是从毕达哥拉斯学派开始的。

论辩术、数学和自然科学的发展对逻辑学的产生具有决定性的影响。这一时期有不少哲学家，如爱利亚的芝诺、苏格拉底和柏拉图等，很重视逻辑论证和反驳的作用，对古代逻辑的形成和发展作出了一定的贡献。

芝诺为了维护他的老师巴门尼德关于存在的一元论，从世界是多元的这一相反的假说引出荒谬的推断，以此证明相反的假说不能成立。

柏拉图的老师苏格拉底也使用归谬法来反驳对方，他用这种方法为伦理的概念如美德、正义、勇敢等下定义。柏拉图的《对话录》中详尽论述了论辩的方法，如归谬法、包含有反驳的论证方法、寻找定义的方法等。他认为单独的名词或动词不能表达命题，同时他还区别了“是”的两种涵义,即“A是B”可表达“A具有属性B”和“A与B同一”。

这里我们需要插入一点说明，巴门尼德在西方哲学史上首先提出了存在的概念，并把它确定为形而上学的研究对象，那么这个存在概念要到哪里去考察呢？答案是在语言里，所以后来海德格尔才说语言是存在的家。于是在对逻辑问题的探索中才出现了对命题中语词含义的讨论。

从亚里士多德之前的逻辑学发展来看，逻辑应该属于人们先天的认识形式，它和理性一同深埋在人们认识的先验内容之中，这一点和刚刚生下来的婴儿短时间内就可以吞咽或者感知方位的能力是一样。唯一不同的是，理性和逻辑是可知的事物并且是被遮蔽的，它需要人们在可知的世界中去探索，去揭开覆盖其实的遮蔽物。之后它才会发挥自己的力量。

第二点我们来说说逻辑体系建立

古希腊逻辑在亚里士多德那里达到了最高的成就。亚里士多德集前人逻辑思想之大成，建立了系统的完整的形式逻辑体系，从而奠定了西方传统逻辑发展的方向。他的逻辑学说主要体现在《工具论》一书中，他所提出的直言三段论学说是其逻辑中最重要的部分。

这个地方简单说一下，我们就引用罗素《西方哲学史》里的一个例子：凡人都有死（大前提）。苏格拉底是人（小前提）。所以：苏格拉底有死（结论）。人和苏格拉底是一对大小概念，有包含关系；人、苏格拉底、死每个概念都出现两次；当我们把概念进行以上形式的组合，就得到了一条结论，这条结论是苏格拉底有死，并且这一结论符合人们的认知和自然的规律。

除此之外亚里士多德是逻辑史上第一个演绎系统的创始人，还在逻辑史上第一次提出了公理方法的理论，他认为一门科学是一个命题系列，是一些真的语句,它们可以包括两个部分。其中第一部分包含一些基本命题或公理，这些特定的命题既不能证明，也不需要证明就确定是真的（就比如欧几里得《几何原本》中的公理）；第二部分包含一些命题或定理,它们只有靠公理的真才能证明是真的,在证明中需要应用规则。

除直言三段论外，亚里士多德还提出了复杂的模态三段论理论，并制定了有关模态三段论的规则。

比如：“如果A必然属于所有B并且B属于所有C，则 A必然属于所有 C”。

此外，亚里士多德还确立了一些非三段论的规则。

以上就是我们今天要讲的古代西方逻辑发展的基本脉络，今天的这节课就到这里，同学们下课。