高中数学：构造正方体解题

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一、将正四面体补成正方体

例1 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为

A.

B.

C.

D.

解析：根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体，且棱长为1。以此正四面体来构造正方体，使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线，如图2。则正方体的棱长为

，正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为

。又正方体的外接球也为正四面体的外接球，所以外接球的半径为

。

所以，

故选C。

二、将三棱锥补成正方体

例2 如图3，l₁、l₂是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在l₁上，AM=MB=MN。

（I）证明AC⊥NB；

（II）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

解析：（I）证明略。

（II）由（I）及∠ACB=60°，可知NA、NB、NC两两垂直且相等，故可将三棱锥C—ABN补成正方体NASB—CQPR，如图4所示。连结PN，由RN⊥BC，知PN⊥BC。同理，PN⊥AC。

所以PN⊥平面ABC。设垂足为O，则∠OBN就是NB与平面ABC所成角。

设正方体棱长为1，则

由sin∠OBN

，得cos∠OBN=

三、将三棱柱补成正方体

例3 如图5，在直三棱柱

中，AB=BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点。

（I）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；

（II）设AA₁=AC=

，求二面角A₁—AD—C₁的大小。

解析：（1）证明略。

（2）由题设AA₁=AC=，可知

为正方形，∠ABC=90°。

将棱柱补成正方体，如图6所示。易知所求二面角

恰是二面角

的一半。作正方体的截面

。由图知

，

，所以

。

同理，

。

于是∠

是二面角

的平面角的补角。而△是正三角形，∠=60°，故二面角为120°，从而二面角是60°。

四、由共点且两两垂直的三条相等线段构造正方体

例4 如图7，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90^o，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

。

（I）求四棱锥S—ABCD的体积；

（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

解析：延长AD到E，使DE=AD，以AE、AB、AS为棱构造正方体，如图8所示。则有：

图8

（I）

（II）延长CD、BA相交于F，连结SF，易知SF//AB’。又可知AB’⊥面CBS，所以SF⊥面SBC，故∠BSC为面SCD与面SBA所成的角。

在直角△SBC中，SB=

从而tan∠BSC=

五、由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体

例5 如图9，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0<a<< span>）。</a<<>

（I）求MN的长；

（II）当a为何值时，MN的长最小；

（III）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小。

解析：（I）与（II）略。

（III）以正方形ABCD、ABEF为相邻面构造正方体如图10所示，面MNA与面MNB所成的角，即面ACE与面CF’E所成的角的补角（因为面MNB//面CF’E）。

在正四面体ACEF’中，易求相邻面所成的二面角的余弦为

。

所以二面角A—MN—B的平面角为

–END–