中考经典数学模型“胡不归”

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近几年中考题中，常出现带系数的两线段和的最值问题，这类问题基本都要用到“阿氏圆”和“胡不归”模型.今天我们着重讲解“胡不归模型”

模型介绍

从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A–B（如图1所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”。

由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时？

设在沙砾地行驶速度为v1，在驿道行驶速度为v2，显然v1＜v2。

不妨假设从C处进入砂砾地。设总共用时t则 t=BC/v1+AC/v2=1/v1(BC+v1/v2×AC).因为v1，v2是确定的，所以只要(BC+v1/v2AC)最小，用时就最少。问题就转化为求(BC+v1/v2AC)的最小值。

我们可以作出一条以C为端点的线段，使其等于v1/v2AC.并且与线段CB位于AM的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢？由三角函数的定义，过A点，在AM的另一侧以A为顶点，以AM为一边作∠MAN=∠α，sinα=v1/v2。然后，作CE⊥AN，则CE=v1/v2AC.最后，当点B、C、E在一条直线上时，BC+CE最小，即(BC+v1/v2AC)的值最小，即用时最小。设k=v1/v2,则可转化为经典的胡不归模型BC+kAC ,求BC+kAC最小值，即求BD+DF的最小值。

构造三角函数模型，过直线上的定点A向这条直线的另一侧作一个锐角α，使其正弦值等于要处理的系数，转化为垂线段最短解决问题。

特殊角模型

模型一、45°角

模型二 、 30°角

三大类型专业解读

01、几何类型（选择、填空）

02、圆综合

03、二次函数综合

方法总结

“胡不归”问题中涉及到三个点。其中有两个定点，一个动点，且动点是在直线上运动。

解答模式：

第一步：在系数不为1的线段的定端点处作一个角，使其的正弦值等于此线段的系数。（注意题目中有无特殊角）

第二步：过动点作上一步的角的边的垂线，构造直角三角形。

第三步：根据两点之间线段最短，找到最小值的位置。

第四步：计算。

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