一点的应力分析

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我们上文说到，构件内各点上的应力一般不同，甚至各个点上的应力在不同面上的应力也有所不同（过一点会有无穷多个面）。所以，我们谈应力，离开它的作用点是没有意义的，同样，离开它的作用面也是没有意义的。

我们该怎么描述构件内的一个点呢？我们用单元体描述构件内的一个点：

由于数学或者几何学中的一个点它是没有大小的，为了在力学中描述一个点，我们利用极限的思想，如图1，在构件中取点a，并且在a点周围的极小范围内取一个单元体（类似于我们学习微积分中的单元体），这个其实是个六面体，且长宽高分别记为dx, dy, dz, 它们互相垂直且都是趋近于0的。这个单元体的六个面都是过a点的，只不过6个面表示过单元体的不同方向。比如图1中的A面和A’面，分别是过a点垂直于x轴且外法线沿x轴的正方向，和垂直于x轴且外法线沿着x轴的负方向。可见，A面和A’面其实是在同一个面上只不过方向不同。（在材料力学中规定这个单元体中面的命名规则为按着面的外法线沿着的坐标方向，所以，A面和A’面均称作x面，只不过方向不同，这里可以把面看作矢量）

图1

这一点的应力状态应该如何表示呢？下面我们就来讨论一点应力状态的表示:

如图2，对于一个构件，我们对于受到拉力F-F的杆件上的某一点a的应力状态进行分析。我们围绕a点取出一个单元体。我们把沿着轴向方向选取x轴，垂直于轴向取y轴和z轴。

在此种外力作用下，我们知道此时杆件只受正应力，并没有切应力。（这也是为什么我们做低碳钢拉伸实验的时候的施加的拉力是沿着轴线的方向的原因，至于为什么这里没有切向力，我们后面再做讨论）。

图2

有人会说，你这个坐标轴选取的也太好了吧，现实的工程实践中哪里有这么简单的案例，一般都是受力状况比较复杂的，能不能搞个一般点的坐标轴选取，别搞这么特殊的。我就想搞个沿着不同方向的。比如我斜着来取x轴，我和x轴呈一定角度的，如下图3：

图3

好的，我们就按照这个来分析。当我们的坐标轴选取如图与轴线呈一定角度的时候，我们会看到对于x’面上，沿着x’轴正方向，我们可以将应力分解为一个切应力tor x’y’ 和一个正应力sigma x‘ 而在沿着x’轴的负方向的切应力和正应力与正方向的对应切应力和正应力大小相等方向相反；对于y’面上，我们分解为切应力tor y’x’ 以及正应力sigma y‘ 。它对面的面上的切应力和正应力方向相反，大小相同。而对于Z面来说，是没有应力的。可见，相对图2描述的，对应同一个点，在不同截面上的应力确实是不同的。也就是说如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面的应力分量亦不相同.

有些同学说了，这个还是太特殊，我们能不能找个最一般的情况呢？答案是，可以的。下面我们就来讨论最为一般的构件内一点的应力分析。如图4：

图4

若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存在三个应力分量：一个法向分量——正应力Sigma i；两个切向分量—切应力Tor ij和Tor ik，这样,单元体上共有九个应力分量。（ i，j，k= x,y,z ）（有的同学可能会说，6个面，每个面3个，不是应该是18个吗？事实上在看不到的那三个面上面的每个面的分量和它对面的面的应力是大小相等方向相反的，由于在定义应力正负的时候，对于负面其符号为与正方向相反的时候为正，所以其应力分量的表示是相同的）.

我们如果用矩阵表示的话如下：

到此我们就讨论完了构建内一点的一般的应力状态分析。此篇完。下篇我们将讨论切应力互等定律。

（参考资料 材料力学 张少实，图片来自网络）