三角形与外接圆

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刷抖音刷到数学老师讲解一道填空题，如下图所示：

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老师的解法是用余弦定理一剑封喉，我们在本文最后一个单元来揭晓。

现在我们来考虑，用正弦函数能够解决问题吗？

答案是肯定的，不过绕路了。考场上推荐用余弦定理解题，平时学习研究可以考虑其它解法。多种解法可以帮助我们看到问题的全貌，看清楚问题的本质。

我们明知道最好的解法是余弦定理，为什么要自讨苦吃，用正弦函数来解题？

我们不需要培养小镇做题家，而是当导游带领大家游览数学花园的美景，感受数学之美和徜徉其中的乐趣。当旅行结束后，不仅得到答案，而且能够给大家提供一些得心应手的解题工具，以及换个角度看问题的优雅。

首先，让我们从正弦函数的定义谈起。

正弦函数有两个定义非常经典，都是伟大的欧拉提出的。第一个是直角三角形中的锐角三角函数的定义：

sin α=对边:斜边=a:c

第二个是欧拉引进单位圆后对任意角的三角函数的定义：

sin α=函数线=PM=y:r

角α的始边在x轴正半轴，终边与单位圆交于p点，p点坐标是(x,y),p点向x轴作垂线，垂足是M。

第一个定义是用两条线段之比表示角α的正弦函数，第二个定义更妙，用一条函数线的长度表示角α的正弦函数。

正弦函数的定义有多种方法，这里再介绍一个对大家很有启发的定义。

用圆内的弦长定义正弦函数：在直径为1的圆中，圆周角α所对的弦长为sin α。

正弦这个名字的弦从何而来？就是来自圆内的弦。

因为圆内接四边形对角互补，所以圆内的弦一侧的圆周角是α，另外一侧的圆周角是180°-α。

正弦函数有这么一条性质：

sin α=sin(180°-α)

为什么呢？你想，这两个圆周角所对的是同一条弦，它们的正弦当然相等。

正弦函数的圆内的弦长定义正确吗？当然正确，我们可以用正弦定理来证明这个定义的正确性。

正弦定理有两种表达式，请看下图：

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正弦定理揭示了三角形的边、角、面积和外接圆直径这四者之间的关系。

现在我们来探究已知三角形三边，怎么求三边上的高？

容易想到的解法是公式法。求出三角形的面积，自然就推算出三条高了。请看下图：

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或者列方程求高：请看问题图(典型例题)

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照着问题图列方程求高，设BC边上的高是AD，垂足D把BC分为BD和CD，设BD为x，则CD为7-x，据勾股定理可列方程：

3²-x²=5²-(7-x)²

整理得

14x=33

解得x后再用勾股定理列方程求高，请看下图：

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求高后就可以求出三角形外接圆直径了。

介绍一个很有用但是大家可能不熟悉的命题。三角形两边的乘积除以第三边上的高的商，等于此三角形外接圆的直径。

求外接圆直径请看下图：

外接圆直径公式

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现在可以求出sin α了。

显然，α=60°或120°。因为大边对大角，所以α不可能是60°，必然是120°。

如果已知三角形外接圆直径，可以方便地求出三角形的三条高。参考图片外接圆直径公式。

求sin α也可以先求面积再用正弦定理得出。

还有一种办法，就是求出三角形面积后，用下面的面积公式求sin α：

S=½bcsin α

怎么求sin β呢？当然还是用正弦定理。

特别收录

最后介绍用余弦定理的解法。由第一余弦定理变式可得第二余弦定理：

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余弦函数有一条性质：

cos α和cos(180°-α)互为相反数。

两个互补角的正弦相等，余弦互为相反数。

填空题的答案是120°(特殊角)。

抖音视频还提供了一个解法，延长AB后，过C点向AB作垂线，构造直角三角形，求出角α的补角，再求出角α。

一期一会，再见。