扭结的故事2：带边界的曲面与扭结

上一篇文章《纽结：化学元素关我什么事？》（点击查看文章）我们认识了什么是纽结，并且着重介绍了（左右手）三叶结，以及8-字结。我们用三色性来说明三叶结确实是非平凡纽结；用同痕的三种初等变换（Reidemeister move）证明了8-字结与其镜像是同痕的，即可以通过不自我穿过地移动，将其变成其镜像.

本篇文章我们介绍纽结和带边曲面的关系. 事实上，定向、边界数、欧拉特征三个方面可以唯一地确定带边曲面的拓扑结构 [3].

与带边曲面相对的概念是闭曲面，即无边的曲面. 例如我们常见的球面、圆环面、克莱因瓶都是紧致闭曲面，即可以通过有限个三角形粘贴而成，即三角剖分；柱面也是闭曲面，由于沿着母线向两端无限延伸，所以它不是紧致的. 下文将要介绍的带边曲面是紧致的.

1.定向

也许是因为我们生活在三维空间，比生活在二维曲面上的生物（假如存在）高一个维度，所以很多事情是显而易见的. 但请各位读者屈尊，降维到二维世界去参观一下，诡异的事情就会发生.

为了不引起当地恐慌，或被认为是疯子，所以请各位隐瞒自己是三维生物的身份. 由于我们现在是二维生物. 所以我们能看到的全部视野这是线段，请大家忘记高度的含义，我们现在只明白“上北下南左东右西”. 前方和后方则是颜色较为浅的线段，那是遥远的地平线. 左右两侧的线颜色比较深. 导游是本地人，先向各位游客说明注意事项：那一条深色的线是深渊，所以请各位尽量不要靠近.

“东西两边都是深渊吗？”你向导游问道.

“你说什么？‘东’和‘西’？什么意思？”导游说道.

“就是左右两边.”

“两边？这明明是一边！”

你很气愤，觉得这个导游简直不可理喻. 算了，他也不知道咱是三维生物，初来乍到还是低调一些吧.

为了在新的国度不至于迷路（其实也是不放心这个东西不辨左右不分、极其不靠谱的导游）， 你在右边的“悬崖”做了一个标记——一个点，红色的点. 然后我们开始向前方移动，过了1分钟后，我们远远地望到了那个红色的点，那是你做的标记！随着我们的靠近，点的颜色逐渐加深，是的，我们回到了起点. 我们也许是在一个圆环上，沿着它的边走了一圈，你这样猜测道.

可是这个点怎么跑到左边的悬崖上呢！！！

你开始发觉不对劲，继续往前走，反正是个圈，总能再次回来. 一边走一边想是不是自己记错了，好了，这次点是在左边. 你又花了一分钟的时间，你知道这次总不会记错了……

可是这个点怎么又回到右边的悬崖上呢！！！

你有一种难以言说的感觉，一直以来我们头脑中的固有观念——左右，这似乎是某种强加给我们的想法. 你开始思考了什么是定向.

你开始对脚下的大地感到颤栗，顿生敬畏之情，没错，它就是——

莫比乌斯带. 图片来源于网络
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

好了，感谢大家的全情投入，现在我们回到现实世界，回归带边曲面的主题.

莫比乌斯带的制作方式分三步：1.找到一个较长的矩形纸条平铺在桌面；2.将其中一端拧转180度；3.最后再将两端沿矩形的宽粘接在一起.

图片来源于网络

莫比乌斯带的神奇之处有二：1.它只有一个侧面；2.作为环，它只有一条边界——圆周
. 如果大家还没忘记，我们称圆周是平凡纽结. （莫比乌斯带还有其他不同形态，例如以三叶结为边界，请看本文最后一个图.）

莫比乌斯带是典型的带边曲面，而且它也是不可定向的代言人. 定向是曲面的分类重要指标.

2.带边曲面的拓扑结构

欧拉特征我们曾经多次提到过（插入文章连接，点击查看文章）：对曲面进行三角剖分，于是曲面上是三角网格，由顶点、棱、面（三角形区域）组成. 于是有如下定义——

定义1（欧拉特征）

我们不得不再次提到可定向闭曲面的欧拉公式——

定理2（可定向闭曲面欧拉公式）

其中
是亏格（genus），就是闭曲面上的洞.（所以说天才genius就是指脑洞genus很多的人吗？）那么不可定向曲面呢？

定理3（不可定向闭曲面欧拉公式）

克莱因瓶，不可定向曲面. 图片来源于网络

抡完这三板斧，我们就可以进一步思考紧致带边界的闭曲面该如何确定了.

其实带边界的曲面总可以变成闭曲面，只要给它戴上“帽子”就可以了，帽子同胚于圆盘.

所以无需在带边曲面上进行三角剖分，我们先确定带边曲面有
条边界曲线（若干的圈），然后给每一条边界曲线带上一顶帽子，形成新的闭曲面只增加了
个面而顶点数、棱数均没有改变，只需最后将添加的
顶帽子还回去即可. 回忆定义1，所以自然得到如下公式：

定理4

由闭曲面分类定理（定理2、3），曲面的定向与亏格决定了唯一的闭曲面，而从闭曲面上挖去圆盘，具体是在什么位置挖、挖多大，对拓扑结构都没有影响，唯一有影响的就是挖掉的圆盘个数，它决定了带边流形的边界个数.

3. 回到纽结

我们终于回到了文章的出发点，就像是纽结一样绕了一个圈子. 所以纽结和带边曲面有什么联系呢？既然莫比乌斯带的边界是平凡纽结，那么对于其他纽结而言，它们是否也可以构造出相应的曲面？这样的曲面我们称之为Seifert曲面. 1934年，德国数学家 Herbert Seifert 提出一种算法：给定任何一个纽结，都可以得到带边可定向曲面，且曲面的边界就是该纽结，不过这样的曲面并不唯一. 当然我们更偏爱其中亏格最小者，于是们定义带边曲面的亏格就是像这样的Seifert曲面的亏格.

如上图，左右两边的曲面的边界都是三叶结，可是左手边是莫比乌斯带，是不可定向曲面，而右手边才是三叶结的Seifert. 通过简单的剖分，我们可惜迅速计算其欧拉特征为
，（如下图，给出了一个具体的分割方案，得到6个顶点，9条棱，2个面.）于是其原闭曲面的欧拉特征由定理4可得
，再由定理2可知曲面的亏格为
，于是我们知道原闭曲面正是圆环面. 所以三叶结的Seifert同胚于圆环面挖去一个圆盘.

曲面正反面分别用两种颜色区别，如其可定向

在文章《拓扑学究竟是一种什么样的学科？》中我们举了圆环面挖去一个圆盘同胚于两条平环相交的例子，读者可以试着画出从三叶结Seifert到前者的连续形变图.

参考文献

[1] Adams C C , Govindarajan T R . The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots[J]. Phys. Today, 1995.

[2] Rolfsen D . Knots and links. Publish or Perish, 1976

[3] Massey W S . Algebraic topology:an introduction. Harcourt, Brace & World, 1967.