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1.概念
如果想要在数组中查找一个数,最基本的方法就是暴力解法:一次遍历,这时候时间复杂度是O(N),二分查找就是其中的一种优化,时间复杂度是O(logN);具体做法是一步一步逼近直到找到。前提是数组需要是一个排序数组。
定义:二分查找也称折半查找(Binary Search),是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。我们可以从定义可知,运用二分搜索的前提是数组必须是有序的,这里需要注意的是,我们的输入不一定是数组,也可以是数组中某一区间的起始位置和终止位置
2.过程
1.二分查找先初始化一个搜索空间,然后再这个搜索空间上去寻找某个值,注意这个搜索空间是有某种规律,比如说是有序的;
2.因为这种规律,直接去看中间值,如果判断中间值和我们想要的结果的关系,比如搜索数字,看中间值和目标值的大小关系;
3.如果mid>t,那证明应该去前半部分搜索;如果mid<t,那说明该去前半部分搜索;
4.然后接着在新的搜索空间执行2,3;
关键
Knuth 大佬(发明 KMP 算法的那位)怎么说的:
Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky…
思路很简单,细节是魔鬼;
3.模板
上述功能就是如果能在数组中找到目标值,就返回其索引,如果找不到,就返回其下标;如果目标值比中间值还大,那肯定在中间值右侧(因为数组已经排序好了),如果目标值比mid值小,那肯定在mid左侧。
细节1:为什么while循环的条件是<=?
因为我们初始化的时候右侧区间是nums.length-1;所以是包括right的,即我们的区间是[left,right],这样一个左闭右闭的区间,把这个区间理解成搜索区间,即我们是在这样一个区间上搜索,那什么时候停止呢,两个原因:
1.找到了目标值,那就停止;
2.没找到目标值,但是搜索区间为空了,没得找了,这时候停止;
所以在最后一个=的时候,比如[2,2]这时候区间还不为空,万一就是这个2呢。
细节2:为什么写成left+((right-left) >> 1);
这主要是为了防止溢出,记住就可以了,注意除以2,用位运算的话会比较快一点,而且记得带外面那个大括号;
细节3: 为什么left = mid + 1,right = mid – 1?
想一下刚才搜索区间的概念,如果发现了索引mid不是要找的target,那自然要从将mid剔除掉,从mid的左边或者右边找起来了。
缺陷:上述算法存在一个缺陷就是不能返回左右侧边界,比如数组是[1,2,2,2,3], target是2,这时候返回的索引是2,没有办法返回左右边界。
4.样例
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
33. 搜索旋转排序数组
剑指 Offer 53 – II. 0~n-1中缺失的数字
仔细体会上面3个样例。
1.解决了上面说到的不能返回左右边界的问题;
2.这个问题是不完全有序数组的二分查找;基本思路就是将其往排序数组上赶,比较mid和left来确定是前半段有序还是后半段有序;
3.是二分查找的一个问题,并不仅仅是查找某个值某个元素,重点去感受最后的left=right=mid;体会最后跳出循环的返回值;
5.体会
当写成这样时:返回的left是第一个>=target的值的索引。
如果原数组有target返回的就是第一个target的索引;
如果没有那就是第一个比target大的值的索引(或者可以理解为要将target插入的位置索引);
之所以有上面的结论就在于最后一步一定是left=right=mid,而且mid左侧都<t,mid右侧都>=t,这时候执行判断,如果mid大于等于target,那就返回它了,也就是left,如果<target,那就执行left+1,返回的就是第一个>=target的值;
注意查看上面中提到的二分法的模板和细节,注意什么时候带等号,什么时候不带等号;
二分查找本质上就是一个不断缩小搜索空间的过程,比如我们找出某个值,就是在不断的把空间缩小;找出哪个数字乱序,也在不断的把空间缩小;求一个数的开根号,不断的缩小空间然后拿值去逼近。这个过程要多想一下,就是我们不断的缩小空间,然后每次都是拿这个空间上的中间值去做某种判断,然后去逼近我们的结果。
二分查找应用的前提就是一定是一个有序的,或者半有序的,如果是半有序的话原则是就是不断向有序上去赶,因为只有在有序的时候才能去二分;
上面提供的二分查找的模板要始终明白在最后一步跳出循环前两点:
1.最后一步一定是right=left=mid。
2.mid左侧和右侧一定是已经有了规律的了。比如查找值的时候,mid左侧都比t值小,mid右侧都比t值大;比如判断从哪个数字开始乱了,mid左侧一定是整齐的,mid右侧一定是乱的。那这时候只要去判断一下mid的值就可以了。如果mid>t或者说mid乱了,那正好返回left也就是mid,如果mid<t或者说mid没乱,那left=mid+1,这不就正好是第一个大于t或者第一个乱的了吗。
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