认知即思索：二元函数的极限怎么求？

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本文既可作为老少皆宜的休闲文章来看，也可作为本科生速成期末考试的灵丹妙药（笑）

梁灿彬

我们今天带大家了解如何求二元函数的极限，话不多说，让我们开门见山：

我们引入这样一个问题：

我们二话不说，第一想法就是让x和y靠近0，发现行不通：

我们的第一想法当然是请软件出场，问问它是个什么情况：

以上就是那一坨函数的图像

我们肉眼看过去，发现它是趋于0的，可是，谁能完全肯定这一点附件没有瑕疵，说不定它极限不存在，或是断开的。于是我们拉近了继续观察它：

还是0！可谁能100%保证我们的软件没有绘图误差呢？然而数学要求我们精确地知道这一点附近究竟怎么样，这个时候，数学理论和运算就起作用了：

我们把原式的那一坨拆开：

接下来的内容凭的不是数学，而是智慧，不要试图去问为什么，问就是经验：

我们发现：

我们给大家聊一下夹逼准则，什么是夹逼准则呢？就是说我们要利用刚才那个思维过程反过来倒推这个极限：

知道更大极限的收敛，就能反推出更小的极限收敛：

这一下，数学上的夹逼定理说它等于0，那么它这下子就板上钉钉等于0了。

我们再来看一个：

这次我们试着直接来算一算：

观察这个等式，我们发现：

我们看看比原式大的：

由于：

所以这个结果自然是0了。

然后我们请软件检验一下计算结果：

在（0，0）处，z的值是0

理论和实验的结果是一致的。

最后，笔者留给大家一个问题，欢迎大家在评论区猜测它的答案：