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∼
1972) 在加尔各答创立的。TIFR (Tata Institute of Fundamental Research) 则是由物理学家Homi J. Bhabha (1909
∼
1966) 在印度的金融中心孟买成立的。另一知名的学术机构IISc (Indian Institute of Science) 早在1909年在邦加罗尔开办, 是1930、 1940 年代的印度少数几家有能力与有资源进行物理学研究的学校。
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), 知名的统计学者, 2002 年美国National Medal of Science 的得主；另一位是数学家S. R. S. Varadhan (1940
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, Courant Institute 的教授, 知名的机率学者, 2007 年Abel Prize 的得主)。
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1984) 的学生, 剑桥大学博士(1934 年)。Dirac 是诺贝尔物理奖1933 年得主。
∼
1983)。Harish-Chandra的学术兴趣其后从物理转向数学, 成为二十世纪半单李群无穷维表示论的大师
[26]
,
[20,
p.532-534]。
∼
2021），C.S. Seshadri（1932
∼
2020），S. Ramanan（1937
∼
)。多复变函数的Raghavan Narasimhan (1937
∼
2015) 与代数群的M. S. Raghunathan (1941
∼
) 也都是在TIFR 从助理研究员一路成长为教授和国际知名的学者。
1. Mahalanobis
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1972) 是印度统计学之父。他把统计学的方法与应用引入印度, 创办ISI (1931年) 与印度的第一本统计学期刊Sankhya (1933年), 培育许多统计学者(如：本文第2 节出现的C. R. Rao)。
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1915 年到英国留学。
∼
1939, 大气电学) 教授继续攻读物理(于Cavendish Laboratory)。
∼
1937) 是一位高中数学教师(St. Paul’s School), 也是剑桥大学的tutor (为剑桥学生补习以便参加Mathematical Tripos)。
[3,
p.27]。
2. C. R. Rao
∼
) 是ISI 培养出来的顶尖统计学者, 他协助Mahalanobis 把ISI 建立成卓越的统计学术机构。
∼
1963 年, C. R. Rao 有四个学生研究领域都是数学, 而不是统计。他们是：V. S. Varadarajan (1937
∼
2019, UCLA 教授), K. R. Parthasarathy (1936
∼
, ISI 教授), R. Ranga Rao (1935
∼
, U. Illinois Chicago), S. R. S. Varadhan (1940
∼
, Courant Institute 教授)。
[7]
,
[5]
,
[24]
.
∼
1960 年在ISI 就学, 他是李群与表示论的专家, 也是Harish-Chandra全集的编辑。Varadhan 在ISI 的时间较晚(1959
∼
1962年), 他是2007 年Abel 奖的得主。
3. Harish-Chandra (1923∼1983)
∼
1966) 来自孟买, 他的父亲是个律师。Bhabha 16 岁进入剑桥大学(Gonville and Caius College), 1930 年获得工程学士学位, 1934 年获得博士学位, 1934 年解释宇宙线的现象, 他把其中出现的基本粒子定名为meson (注5)。
∼
1948 年Harish-Chandra 跟随Dirac 到Princeton 访问(Institute for Advanced Study, IAS)。这时C. Chevalley 与Emil Artin 正好在Princeton 大学教书。Harish-Chandra 旁听他们开的课, 他也从Chevalley 那里学到李群与李代数exceptional Lie group 的方法。
∼
2009) 是Kolmogrov的学生
[12,
p.23]。
[16,
p.203-204]。
∼
1953 年Harish-Chandra 到TIFR 访问。Bhabha 似乎想挽留他在TIFR 工作。几经考虑Harish-Chandra 还是回到美国(Columbia 大学, 1950
∼
1963；
Princeton IAS,
1963
∼
1983)。
∼
2002) 被评选委员认为同属Bourbaki 成员
[13]
, 因此两个人之间只能有一个人能获颁Fields Medal
[16,
p.213]。这次奖项最后颁给Thom 与K. F. Roth (1925
∼
2015) (注9)。其实Thom 并不是Bourbaki 成员, 他只是Henri Cartan 的学生；Harish-Chandra 不是Chevalley 的学生, 他只是深受Chevalley 影响的人, 而Cartan 与Chevalley 都是Bourbaki 的创始成员
[13]
。
4. K. Chandrasekharan
∼
2017, 本文简称他为KC) 来自Andhra 地区(第2 节的C. R. Rao 也来自这地区), 他在Presidency College Madras 获得博士学位(1946), 指导教授是K. Ananda Rau (1893
∼
1966)。
∼
1950), S. Minakshisundaram (1913
∼
1968) 与KC.
[19,
p.251]。1950 年他搭机到Harvard 大学参加国际数学家大会, 飞机在埃及开罗坠毁身亡。
[19,
p.252]。Minakshisundaram 后来成为巴基斯坦科学院的院长。
∼
1992) 一起到 TIFR 工作。
5. 助理研究员形成的研究团队
[19,
p.256], 1950 年代TIFR 助理研究员(博士班学生) 的士气非常高昂。「我们每天谈的都是数学。大家认为这是天下最至高无上的事。我们努力学习各种新的概念与新的方法」。
[23]
。
∼
2021) 与C. S. Seshadri (1932
∼
2020) 在同一年出生, 同一年进大学(Loyola College Madras), 同一年到TIFR当助理研究员(1953) 年。1956 年底, KC 把他们送到法国写博士论文(由法国提供奖学金), 他们在1960 年才回来。
(*) function theory (1960年),
(*) differential analysis (1964年),
(*) algebraic geometry (1968年).
6. Father Racine
∼
1976) 是个天主教耶稣会的神父。他参加第一次世界大战受伤, 因此左脚有点跛。1937 年他来到印度。1939 年起任教于Loyola College Madras.
[13]
[14]
是极为熟悉的朋友。他了解并且肯定他们这些人追求的数学方向。
[20, p.
529]。
7. 向量丛所形成的参模空间
g
：
X
的亏格;
p
：E
→
X
,
X
上的全纯向量丛, 简记为E；
;
, 其中 n=rkE；
n
,
d
都是整数且
n
≥
, 定义集合
(
n
,
d
)
如下：
U(n,d)={[E]:[E]是向量丛E的同构类且 rkE=n,degE=d}.
∼
1962 年M. S. Narasimhan 与C. S. Seshadri 合作研究黎曼面的向量丛。当
n
=
,
d
=
0
,
U
(
,
0
)
在1950 年代已经有许多完整的结果, 可以在集合
U
(
,
0
)
赋予一种abelian variety 的结构, 它也就是现在习称的Picard variety。
≥
的向量丛及参模空间所知有限。当rkE
≥
且
g
=
0
, 这些向量丛的结构相当清楚(G. D. Birkhoff, Grothendieck, Seshadri), 当rkE
≥
且
g
=
, Atiyah 已做过不少研究。
定义1：酉丛与不可约酉丛(Weil, J. Math. Pures et Appl. 17(1938), 47-87) 设
是亏格≥2的黎曼面,
是其通用覆盖空间, 因此
, 其中
是
的基本群。令
是
维复系数向量空间,
是酉群 (即
. 对于任意的表示
, 恒可造出一个阶数为
的向量丛
如下：若
, 定义
, 其诱导的商映射
形成
的一个阶数为
的酉丛(unitary bundle)
, 其中
.
是不可约表示,
称为表示
所定义的不可约酉丛(irreducible unitary bundle)。
.
变成复流形(Math. Ann. 155(1964), 69-80)。
叫做稳丛(半稳丛), 如果对于任意的子丛
恒有以下不等式：
, 则
是稳丛的充分必要条件是
为不可约酉丛(Ann. Math. 82(1965), 540-567)。事实上当
是
的稳丛, 也有类似酉丛的建构方法(只是在定义1, 要把基本群用一类fuchsian group 代替。)
也可写成
具有复流形的结构(1964年)。Seshadri 进一步证明
具有正则射影多样体的结构(Ann. Math. 85(1967), 303-336)。
具有平滑的拟射影多样体的结构。因此Seshadri 的定理可解释成：
是
的自然紧致化(canonical compactification)。Seshadri 的方法可以推广到
。
在恰好是
的奇异点, 除了一个特殊情形(Ann. Math. 89(1969), 14-51)。这个特殊情形是
且
(即
的情形)。这些特殊情形蕴含一些有趣的几何结构, 见[21, p.22]，[25, p.xxiv-xxv]。
∼
1974)、 R. Narasimhan 与S. Ramanan 都来自Madras, 他们在1957 年加入TIFR 成为助理研究员(博士班学生), 这时Ramanujam 才19 岁(见本文第5 节), 此后R. Narasimhan 成为芝加哥大学教授, Ramanan 成为TIFR 教授, Ramanujam 虽然成为TIFR 教授, 却饱受精神分裂症(躁郁症?) 的折磨, 在1974 年服用安眠药自杀。
[19, p.
257]。
[20,
p.543], 我们这些博士生从Ramanujam 那里学到许多数学, 有些数学甚至远离他的研究领域。「我们直到深夜还在讨论数学。Ramanujam 除了数学之外, 还涉猎许多领域。」
∼
1959 年），I. R. Shafarevich（1964
∼
1965 ， Minimal models），
D. Mumford (1967∼1968, Abelian
varieties)
。
∼
1971 年英国Warwick 大学举办代数几何会议, 这时正好是Ramanujam 病症消失的时期, 他主持两个很成功的研讨会：étale cohomology 与代数曲面的分类。在会议期间, 他跟Mumford 讨论Kodaira vanishing theorem 的一种形式, 这就是有些人称为Ramanujam vanishing theorem 的东西(注15)。
此外Ramanujam 另有一个有名的定理。他用拓扑的方法(contractible 与simply connected at infinity) 刻画仿射平面
[18, p.636]。
Ramanujam 得病之后, 他搜集与这病症相关的许多文献, 并且仔细研读。最后他得到一个结论：这病痛是治不好的。他因此走上自杀之路。
∼
1976) 在1967 年加入TIFR, 他的指导教授是M. S. Narasimhan 与S. Ramanan。
∼
1973 年他到Princeton 高等研究院(IAS) 与Atiyah 工作。Atiyah、 Bott、 Patodi 用heat equation 的方法找到另一个Atiyah-Singer Index Theorem 的证明(Invent. Math. 19 (1973) 279-330; ibid 28 (1975), 277-280)。
9. 展望
是根据它的height编序的。) 见Ann. Math. 181 (2015), 191-242; ibid. 181(2015), 587-621。Shankar 来自Chennai (Madras), 是Bhargava 的学生(2012 年Princeton 大学博士)。
∼
2002 年), 指导教授是Peter Sarnak。现在他是Princeton 高等研究所(IAS) 的教授。
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1970 年发展得那么迅猛, 则有待观察。
后记
∼
1995) 与 S. S. Abhyankar (1930)
∼
2012)。Abhyankar是Purdue大学的代数几何学者
[8]
。Chowla 的专长是数论, 是1931 年Cambridge 大学的博士, 随即回印度工作。1947 年印度与巴基斯坦分治, 由于Chowla 在Lahore 工作, 而该地划归巴基斯坦, Chowla 全家只好逃回Delhi, 再转往美国。Chowla 的事迹可见
[2]
,
[20, p.
531]，
[19, p.
243]。
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