初中数学 第五章 相交线与平行线（知识点 重难点 易错点 思维导图）

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初中数学同步系列七年级下册 第五章 相交线与平行线（知识点、重难点、易错点、思维导图）非常全面，值得收藏。关注我，更多电子版学习资料免费送

5.1 相交线

5.11 相交线

邻补角与对顶角（重点）

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

易错点：

(1)对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

(2)如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；

(3)如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；

(4)两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.

例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角．

错解：如图，对顶角为：(1)∠AOC与∠BOD；(2)∠AOF与∠BOD；(3)∠COF与∠DOE；(4)∠AOC与∠BOE．

错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致(2)和(4)错误．如果对对顶角的概念没有真正理解和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 ．

正解：(1)∠AOC与∠BOD；(2)∠BOE与∠AOF；(3)∠COF与∠DOE；(4)∠COE与∠DOF．(答案不唯一：∠AOE与∠BOF，∠BOC与∠AOD也是对顶角)

5.1.2 垂线

1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

符号语言记作：

2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（重点）

3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（重点）

4.点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

三线八角图（重点、难点）

如图，判断下列各对角的位置关系：

(1)∠1 与∠2；(2)∠1 与∠7；(3)∠1 与∠BAD；(4)∠2 与∠6；(5)∠5 与∠8.

解：我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线)，得到下列各图.

如图所示，不难看出∠1 与∠2 是同旁内角；∠1 与∠7 是同位角；∠1 与∠BAD是同旁内角；∠2 与∠6 是内错角；∠5 与∠8 对顶角.

注意：图中∠2 与∠9，它们是同位角吗？

不是，∵∠2 与∠9 的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.

5.2 平行线及其判定

5.2.1 平行线

1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a ∥b .

2.两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行.

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样(这里，我们把重合的两直线看成一条直线).

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合(∵两点确定一条直线)

3.平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

4.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.

例：同一平面内，不相交的两条线是平行线.

错解：对．

错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确．若是射线或线段有可能不相交.∴说法是错误的．

正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线．

5.2.2 平行线的判定判定方法(重点)

判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

简称：同位角相等，两直线平行

判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

简称：内错角相等，两直线平行

判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

简称：同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)

∵ ∠1＝∠2

∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)

∵ ∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)

例1：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：

(1)不相交的两条直线必定平行线.

(2)在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交.

(3)过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解：(1)错误.平行线是在“同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏.

(2)正确

(3)错误.正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.∵如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的

例2：如图，由条件∠2＝∠B，∠1＝∠D，∠3＋∠F＝180°，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？

解：(1)由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；

(2)由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；

(3)由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行.

5.3平行线的性质（重点）

5.3.1平行线的性质（重点）

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

几何符号语言：

∵AB∥CD

∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)

∵AB∥CD

∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)

∵AB∥CD

∴∠4＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)

例1：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C

证明：∵∠1＝∠B(已知)

∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)

∴∠2＝∠C(两直线平行，同位角相等)

例2：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°求∠2、∠3的度数.

解：∵DE∥BC∴∠2＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)

∵AB∥DF∴∠3＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)

∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

例3：如图，直线AB，CD分别和直线MN相交于点E，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN．若AB∥CD，你能说明EG和FH也平行吗?

错解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=12∠BEN．

同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=12∠DFN．又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN；从而∠BEG=∠DFH．∴EG∥FH．

错解分析：在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提.认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线．而 ∠BEG 和∠DFH 不是直线 EG，FH 被某条直线所截得的同位角， ∴由 ∠BEG=∠DFH 不能判定EG∥FH．

正解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=∠GEN=12∠BEN，

同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=∠HFN=12∠DFN，

又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN，从而∠GEN=∠HFN．

而∠GEN，∠HFN是直线EG，FH被直线MN所截得的同位角，∴EG∥FH．

例4：如图，△ABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B， 试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．

错解：∵∠1+∠2=180°，∴EF∥AB．

∴∠3+∠BDE=180°．

∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE=180°．

∴DE∥BC．

错解分析：由∠1＋∠2=180°，不能得到EF∥AB．虽然∠1和∠2是由直线EF和AB被直线DC所截得的角，但由于它们不是同旁内角，∴尽管∠1＋∠2=180°， 也不能得到EF∥AB．

正解：∵∠1=∠4，∠1＋∠2=180°，∴∠2+∠4=180°．

∴EF∥DB(同旁内角互补，两直线平行)．

∴∠3+∠BDE=180°(两直线平行， 同旁内角互补)．

∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE=180°．

∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．

5.3.2命题、定理、证明

1.命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.

2.命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

3.如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.

4.经过推理证实而得到的真命题叫做定理.

5.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

5.4平移

1.平移变换

①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.

②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点③连接各组对应点的线段平行且相等

2.平移的特征：

①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.

②经过平移后，对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.

例：如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：

(1)点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

(2)点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿.

(3)点＿＿＿＿＿的对应点是点F；

(4)线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；

(5)线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；

(6)∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿.

(7)＿＿＿＿的对应角是∠F.

解：(1)D；(2)E；(3)C；(4)DE；(5)EF；(6)∠D；(7)∠ACB.

本章思维导图

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