数学文化科普展 | 第五期 地图投影的分类

圆柱投影是将一个圆柱面包围球面，并使之相切或相割，再根据某种条件将球面上的经纬网点投影到圆柱面上，然后，沿圆柱面的一条母线切开，将其展成平面。

举个例子

把一张纸（平面）以如图所示的方式包住地球仪，形成一个圆柱体。地球仪的赤道和纸面相切。假设地球仪表面透明，且它的球心有光源，那么地球仪表面的大陆轮廓就被投影到了纸面上。用笔在纸面上记录下轮廓后，将纸面展开，就得到了圆柱投影的世界地图。这是最简单的一种圆柱投影。

上面的文字说明足以让我们了解到地图的做法，但是从数学的角度考虑，我们最好弄清楚如何用数学语言描述上述过程，写出具体的表达式，这样有助于我们进一步探究制作出的地图所具有的性质。利用解析几何的基本知识，我们可以得到：

由此可解得：

其中(u,v)是平面直角坐标系，即地图上点的坐标；(λ,φ)是球面上的经纬度，λ代表经度，φ代表纬度，R代表地球的半径。要使得上面定义良好，我们需要写出经纬度的范围，即λ∈(−π,π)以及φ∈(-π/2，π/2)

从上面经纬度的范围，可以看出上面一张地图并没有覆盖整个球面，因为南北极点以及连接它们的经度为π的那条经线都不在地图中。不过根据上期给出的地图定义，它确实能给出球面上的一张地图。要想得到球面上的图册，还需要添加南极点和北极点附近的地图才行。但在实际应用中，只要构造出一张地图，就够我们用的了，不必强求完整性。因此我们之后的讨论，也只是针对一张地图进行的。

为了方便我们之后讨论地图投影制作出的地图的性质，我们常把上述映射写成从R到R的映射。即，将球面放入我们熟悉的R中，此时不妨设球面方程为x+y+z=R，用x, y, z 表示出λ,φ,利用球坐标变换，有如下结果：

代入之前计算出的映射表达式可得：

上面的表达式略显复杂，但是一旦将映射写成如上的形式，我们就可以更好的利用微分几何的知识探究它所具有的性质，并且有一套系统的探究方式，这将在下一期中提到。

墨卡托投影由荷兰地图学家墨卡托(G.Mercator)于1569年创拟。为地图投影方法中影响最大的，是绘制世界地图时最常用的投影之一。它的实现是在上述圆柱中心投影的基础上，将v的表达式略微变化得到，具体如下：

图2:用墨卡托投影制作的地图

其中经纬度的范围λ∈(−π,π)以及φ∈(-π/2，π/2) ,仿照之前的过程，我们将上述映射改写成从 R到R的形式，即如下结果：

其中的ϕ和λ满足：

利用上面的表达式，我们可以进一步计算，得出墨卡托投影的一个重要性质：保角性。这一点将在下一期中具体解释。

方位角投影是另一种投影方式，它使一个平面与球面相切或相割，以这个平面做投影面，将球面上的经纬线投影到平面上，形成投影网。即以平面为投影面的一类投影。

最知名的方位角投影制作成的地图，应该是联合国旗帜上的，它是由球极投影的方式制作成的。球极投影早在两千年前就被人们所知，其不仅在地图制作上发挥作用，在数学的理论研究中也极为有用。

图3:球极投影的示例

球极投影的原理是：假设球体（不妨设半径是1）是透明的，而光线也是沿直线前进的。然后在球的北极（或南极）放置一个投影点，在赤道放置一个平面，让光源向平面发光，这样就可以在平面上看到除北极点（或南极点）之外球面上所有点的投影了。

图4:球极投影

利用解析几何知识，我们很容易得到球极投影的公式如下：

由此反解得：

我们可以证明，球极投影和墨卡托投影一样，都有保角性。

兰伯特方位角等面积投影

Lambert Azimuth Equal-area Projection

为了定义兰伯特方位角投影，想象一个平面在单位球面上的S点与球面相切。设P是单位球面上除S的对径点以外的任何一点，d是三维空间中S和P之间的距离(注意：不是沿球面的距离)。然后该投影将P映射到平面上的点P’，满足：P’到S的距离是d。

图5:兰伯特投影的做法

更精确地说，存在唯一的圆，以S为圆心，穿过P，垂直于平面。它与平面相交于两点；设P’是更接近P的点，这是我们要找的P的对应点。如图所示。根据定义，我们可以给出兰伯特投影的公式：

由此可解得：

我们可以验证，兰伯特等面积投影的确是等面积投影，即，球面上任两个图形的面积之比，等于它们在地图上的像的面积之比。因此，这张地图还原了现实中各区域的面积关系。

图6:用兰伯特等面积投影方法制作的地图

在本期中，我们根据地图的制作方式分类了地图投影，除了我们提到的圆柱投影、方位角投影，常见的地图投影还有圆锥投影，但碍于篇幅，就不介绍了，感兴趣的同学可自行查阅相关资料。

我们在本期中给出了很多地图投影的公式，它们可能长得有些吓人，并且暂时没看出它们除了“精确刻画对应关系”以外的作用。但实际上，我们可以利用这些具体的信息，从数学上严格证明出地图应该有的比较好的性质，比如等角性、等面积性。我们将在下一期中讨论这些有趣的问题。