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倍数,我们都学过,很简单——一个整数能被另一个整数整除,这个整数就是另一个整数的倍数。有的同学说,小数、分数都学过了,还不懂整数、倍数吗?其实,也不一定。
我们都知道:
1的倍数——任意整数都是1的倍数。
2的倍数——任意偶数(双数)都是2的倍数。
5的倍数——末尾是5或者0的整数都是5的倍数。
(这里说明一下:0是任何非零自然数的倍数。但是考虑到研究最大公约数和最小公倍数时,如果不排除0,很多问题无从讨论。例如,讨论0和5的最大公因数既没有实际意义,也没有数学意义;再如,如果把0考虑在内,任意两个自然数的最小公倍数就是0,这样的研究没有任何价值。所以,我们就不考虑0了。)
那3、4、6、7、8等数的倍数呢?
首先,我们要明确3个推论。
第一个:如果A是x的倍数,那么A的倍数就是x的倍数。
我们朴素地证明一下。因为A是x的倍数,所以A除以x没有余数,所以不管有几个A,除以x都没有余数。
例如,300是4的倍数吗?不用算,因为100是4的倍数,300就是4的倍数。
第二个:如果A和B是x的倍数,那么A+B是x的倍数。(如果A>B,A-B也是x的倍数。)
也可以用上面的办法,朴素地证明一下,也可以严谨地证明一下:
因为A、B是x的倍数,设A=mx,B=nx(m,n是整数,m+n也是整数),那么A+B=mx+nx=(m+n)x,A+B等于一个整数乘x,所以A+B就是x的倍数。
第三个:如果A是x的倍数,B不是x的倍数,那么A+B不是x的倍数。(如果A>B,A-B也不是x的倍数。)
证明过程可以自己想一下。
例如:102是4的倍数吗,102=100+2,100是4的倍数,2不是,102就不是4的倍数。
有了这三个显而易见的推论,我们来看这几个数字的倍数。
3的倍数——如果一个数每一位上的数字相加,得数是3的倍数,那么这个数就是3的倍数。
我们设这个数是三位数,百位上a,十位上是b,个位上是c,那么这个数就可以用100a+10b+c表示。我们需要证明:如果a+b+c是3的倍数,那么100a+10b+c就是3的倍数。
证明:100a+10b+c=(99a+a)+(9b+b)+c=99a+9b+a+b+c=3(33a+3b)+(a+b+c),因为3(33a+3b)是3的倍数,(a+b+c)也是3的倍数,根据推论2,所以两者加起来就是3的倍数。证明完毕。
更多位数的也一样。
另外的,我们可以看到,根据推论3,如果(a+b+c)不是3的倍数,那么这个数就不是3的倍数。
9的倍数也是一个道理,不做证明。
9的倍数——如果一个数每一位上的数字相加,得数是9的倍数,那么这个数就是9的倍数
4的倍数——如果一个数后两位是4的倍数,那么这个数就是4的倍数。现在我们可以更迅速的判断,一个年份是不是闰年了。
证明一下,我还用这个老熟人,三位数100a+10b+c。
根据推论1,100是4的倍数,所以100a是4的倍数,如果后两位10b+c是4的倍数,那么100a+(10b+c)就是4的倍数。证明完毕。
更多位数的也一样。
另外的,我们可以看到,根据推论3,如果后两位10b+c不是4的倍数,那么这个数就不是4的倍数。
8的倍数也是一个道理,只不过,我们要改成——如果一个数后3位是8的倍数,这个数就是8的倍数。
6的倍数——如果一个数同时是2和3的倍数,这个数就是6的倍数。
7的倍数——比较复杂,与11、13倍数规律相同。此处不作讨论。但是我们可以根据推论3,相对简单判断一个不大的数。例如353,353=350+3,350是7的倍数,3不是,那么353就不是7的倍数。
个位数的倍数, 1,2,3,4,5,6,8,9,除了7,我们就都会了。
你看,其实数学是相当有趣的,很多我们已经学过的知识。同学们,我们学的每一门学科,都是学无止境、其乐无穷。我们每一个人,都要多学、勤思,找到乐趣,就能爱上学习。
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