含二次和三次根式的混合方程求解方程（总结）讨论

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这类含有二次根式和三次根式的混和方程，采用分子有理化（法①）虽然能求解，但变形之后的方程更复杂，并不可取。主要简洁的方法-是采取双换元（法②）和移项用换元搭桥的方法（法③）转换为方程组的方法求解。

欢迎提供其它更为简洁的求解方法，在评论区留言讨论。

x≥-1

解法①:原方程变为

√（x+1）-1=³√x…①

∴[√（x+1）+1][√（x+1）-1]=³√x[√（x+1）+1]

i）当x=0时，是原方程的解

ii）当x≠0时

分子有理化

√（x+1）+1=x/³√x=³√x²…②

①+②:2√（x+1）=³√x+³√x²

[②-①:³√x²-³√x=2，∴（³√x-2）（³√x+1）=0，简洁多了！]

…这个方程更复杂

令³√x=a，则x=a³

∴2√（a³+1）=a²+a

∴4a³+4=a⁴+2a³+a²

∴a⁴-2a³+a²-4=0

∴（a-2）（a³+a+2）=0

∴（a-2）（a+1）（a²-a+2）=0

∴实数解a=2或a=-1

当a=2时，³√x=2，x=8

当a=-1时，³√x=-1，x=-1

经验根，原方程的解为:x₁=-1，x₂=0，x₃=8

解法②:令√（x+1）=a（a≥0），³√x=b

∴a-b-1=0…①

a²-b³=1…②

由①:a=b+1代入②

（b+1）²-b³=1

∴b³-b²-2b=0

∴b（b-2）（b+1）=0

∴b=0或b=2或b=-1

当b=0时，³√x=0，x=0

当b=2时，³√x=2，x=8

当b=-1，³√x=-1，x=-1

经验根，原方程的解为:x₁=-1，x₂=0，x₃=8

解法③:原方程变为

√（x+1）=³√x+1

令√（x+1）=a=³√x+1（a≥0）

∴√（x+1）=a…①

³√x+1=a…②

由①x=a²-1…③

由②:x=（a-1）³…④

③、④联立:a²-1=（a-1）³

∴（a-1）³-a²+1=0

∴（a-1）³-（a+1）（a-1）=0

∴（a-1）（a²-3a）=0

∴a（a-1）（a-3）=0

∴a=0或a=1或a=3

当a=0时，√（x+1）=0，∴x=-1

当a=1时，√（x+1）=1，∴x=0

当a=3时，√（x+1）=3，∴x=8

经验根，原方程的解为:x₁=-1，x₂=0，x₃=8