数学中空间概念的推广——微分流形

数学中空间概念的推广——微分流形微分流形是现代数学中一个非常重要的概念,简单来说,它是欧式空间的推广,是一种更为抽象和一般的“空间”。经过一百多年的发展,它已经被广泛应用于数学和物理中,借助对微分流形的研究,我们对“空间”有了更为深入的了解和刻画。

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微分流形是现代数学中一个非常重要的概念,简单来说,它是欧式空间的推广,是一种更为抽象和一般的“空间”。经过一百多年的发展,它已经被广泛应用于数学和物理中,借助对微分流形的研究,我们对“空间”有了更为深入的了解和刻画。

数学中空间概念的推广——微分流形

学过拓扑的同学应该都知道拓扑流形这个概念,拓扑流形指的就是“局部”同胚于欧式空间的拓扑空间,一般情况下为了适应需要,往往还要求这个拓扑空间满足分离性质(也就是豪斯多夫公理)和具有可数拓扑基。这里还需要解释一下“局部”是个什么意思,这指的就是对任意一个点,存在它的一个邻域,这个邻域和欧式空间同胚。这里我们所考虑的拓扑流形是无边的,对于一些有边流形来说,我们就无法要求它们的边界点有邻域同胚于欧式空间,所以在这种情况下,同胚的对象会以欧式空间的上半空间来代替整个欧式空间。

数学中空间概念的推广——微分流形

定义了拓扑流形之后,我们会发现,这个概念实在是太宽泛了,基本绝大部分常见的空间都是拓扑流形,例如欧式空间,球面,环面,双曲面等等。尽管拓扑流形局部同胚于欧式空间,但我们还没有去关心这个同胚映射到底是怎么样的。

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从历史来看,黎曼大概是第一个使用“流形(Manifold)”一词的数学家,这来自于他在哥廷根大学著名的就职报告《论作为几何学基础的假设》。黎曼的本意是将高斯在三维欧式空间中内蕴几何思想推广到任意的n维空间,但他最终给出的答案远远超过了当初的预期,于是黎曼几何便自此诞生。从今天的观点来看,黎曼关于流形的定义是不够完善和精确的,但黎曼对“空间”的理解的确超越了时代,直接改变了几何学的面貌。

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纯粹的拓扑空间实际上还是非常松散的,因为我们只有最一般的抽象概念,例如开集,连续函数,同胚等等概念,如果我们想在空间上做更多的事,就必须对空间进行更精确的描述,所以我们还要在空间,或者说流形上附加一些结构。而对拓扑流形赋予“微分结构”后,它就成为了一个“微分流形”。粗略来说,微分结构要求拓扑流形中的同胚是光滑的(也可以降低光滑性要求,例如可以只是连续或一次可微)。最重要的,这些光滑映射要“相容”,也就是说,如果两个领域相交,那么其上各自的光滑映射必须是互相光滑依赖的。

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可能很多人会问,为什么微分流形定义里的要求都是“局部”的?如果我们的定义是整体的,那么微分流形就会同胚于欧式空间,但同胚是一个非常强的拓扑限制条件,仅仅同胚于欧式空间的流形显然没有太大的研究价值,而且我们也会丢失一大类其他空间,甚至我们连球面这样典型的空间也不能纳入微分流形的范围,所以我们必须要从“局部”定义。

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微分流形的定义看起来很平凡,没什么特别的,但实际上这是总结了很多因素后才给出的抽象定义,在这样的定义下,很多意想不到的数学对象也拥有了几何结构,典型的例如全体可逆n维矩阵,m维向量空间的全体n维线性子空间等等,还有我们熟悉的莫比乌斯带,克莱因瓶等,这些都是微分流形。但实际上,要给出微分流形的微分结构,很多时候并不是一件容易的事,因为微分结构往往不是唯一的。即使是再简单不过的欧式空间,它的微分结构曾经也是一大难题。

特别当米尔诺(著名拓扑学家,菲尔兹奖,沃尔夫数学奖,阿贝尔奖等数学三大奖得主)发现了七维球面上存在不等价(也即不同的微分结构定义的微分流形之间不微分同胚)的微分结构后,微分结构的复杂性才充分显示出来。后来的研究表明,三维及以下的微分流形微分结构是唯一(微分同胚意义下)的,而对于欧式空间,除了四维外,微分结构都是唯一存在的,而四维欧式空间上的微分结构甚至有无数种!从这种观点来看,四维空间有它特殊的地方,但到底它有什么奥秘,还需进行更深入的研究,这或许不是完全靠数学能解决的问题。

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有了微分结构之后,一个明显的好处是我们在欧式空间中可以赋予微分流形一个“坐标”,这个坐标就是通过微分同胚得到的,而有了坐标之后,我们能做的事就非常多了,就像之前在欧式空间中那样。但对于微分流形这样更一般的空间来说,很多传统的数学概念是不能直接定义的,例如切向量,方向导数,梯度等,这是因为我们在考虑微分流形时,已经失去了欧式空间中那样的几何直观。而且还有一个要紧的问题没有解决,那就是微分流形上还只有拓扑结构,没有度量结构。

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微分流形上的度量也是黎曼首先提出的,在里奇(Ricci)等数学家引进张量后,黎曼度量才有了严格的数学描述,它被定义为流形上的二阶共变对称正定张量场,拥有了度量之后,微分流形才真正成为了几何的研究对象,这也就形成了如今的“黎曼几何”,它的研究对象就是赋予了黎曼度量的黎曼流形。实际上,微分流形上不仅仅可以赋予度量结枸,根据需要,也可以赋予其他结枸,例如如果我们赋予一个非退化的闭二次微分形式,那么这个流形就成为了“辛流形”,研究它的几何就是辛几何。实际上,辛流形是经典力学和分析力学的抽象表述中的流形上的余切丛,或者说是力学系统的相空间。

数学中空间概念的推广——微分流形

微分流形作为空间概念的推广,被赋予了丰富的内涵,它不仅是数学的研究对象,在其他学科,尤其是物理中,微分流形也得到了极大的应用,典型的如爱因斯坦的相对论,其数学基础就是黎曼几何。如今,各种各样的流形广泛出现于不同的学科之中,例如服务于复几何的复流形,加上了群结构的李群等等,所以可以毫无疑问地说,微分流形已经成为现代数学的基本语言。

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