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欧几里得几何学
两千三百年前,古希腊数学家欧几里得著成了《几何原本》,构建了被后世称为“欧几里得几何学”的研究图形的方法。欧几里得创立了当时颇为独特的公理系统,即首先提出一些显然的、不言自明的公理。
比如,他提出了“三角形的内角和一定等于一百八十度”的定理,他的许多几何计算也是基于此,并且看起来颇为正确。但是后来的数学家对此产生了质疑,认为这个定理是缘于经验而并非真理。那么,把不遵从欧几里德公里系统的几何学,也取了个相对应的名字,叫“非欧几里德几何学”(non-Euclidean Geometry)。
欧几里德几何对空间物体的刻画,是基于某个维度上的内积(Inner Product)。对于空间中的一些点或线,我们感兴趣的是它们的距离、角度等等属性,这可以通过求其内积获得。例如,在二维空间里两个向量X=(x1, x2)和Y=(y1, y2)的距离为x1*y1+x2*y2。也就是等于内积<X, Y>。此公式可以推广到三维空间,甚至是大于三维的空间。因此欧几里德空间也被称为“有限维实内积空间”。
然而,就如同三角形的内角和问题一样,在使用中也发现了欧几里德空间的局限性。这就必须先从拓扑学谈起。
拓扑学(Topology)
“拓扑学家就是不会区分甜甜圈和咖啡杯的人。” -John L. Kelley
“拓扑”这个词在希腊语中的意思是地貌。拓扑学是研究几何体连续形变中保持不变的性质。比如下面链接里介绍的“亏格”。无论怎么变形,亏格不同的对象都无法变成同一个模样。亏格就是一个拓扑不变量。
而连续的变换最后都能变成一样的两个物体,称为同胚(Homeomorphism)。从这个角度上说,甜甜圈与有一只把手的杯子等价(都只有一个洞)。但是事实上,杯子无法捏成甜甜圈的模样,因为杯子都是瓷或塑料做的,它们都太硬。相对的,在拓扑学中研究的对象,都必须是“柔软”的,从某种意义上说就像可以流动的液体一样。然而,在传统的、基于内基的欧几里德空间(比如笛卡尔坐标系)中,得出甜甜圈等于杯子的结论是不可想象的。相应的,把基于欧几里德空间的几何学称为是“坚硬”的。
所以,在拓扑学中必须定义一个特殊的柔软的概念。
流形(Manifold)
流形这个名字来源于十九世纪德国数学家黎曼(Riemann )。流形的德语原名是Mannigfaltigkeit,意思是“多样性”。
下面一个问题是,该如何精确地描述这种柔软多变的流形呢?
这种灵感来源于地图集(Atlas)。假设你要做一份详细的中国地图, 有两个难点。第一是不可能把所有的地图细节包含在一张纸内,所以不同的城市要画在不同的页(Chart)上。然后,给出比例尺,再告诉读者从天津往西北方向的地图是北京等等。
第二个问题更加棘手,它源自于地图本身的局限性。我们很容易知道从上海往西走可以到乌鲁木齐。但是,假设从上海坐船往东,穿过北美、欧洲大陆,同样可以到达乌鲁木齐。用此逻辑,从任何一个地点出发,往任何方向前进,都可以回到原点,这是地图无法表达的。
把地图和拓扑的问题比较,某一张地图就好像一个笛卡尔坐标系,在局部的讨论中是成立的。就好比拿着北京地图从西直门走到西单,无论如何也是没有歧义的。但是扩大到整个地球(流形)就不成立了。
于是以地图集的概念描述一个流体:把流体的任何一个微小的局部看作是欧几里德空间,称为一个chart。无限多这样的chart拼接起来,就成了地图集atlas。
同时可以看出这样定义的流形,要求在某个任何小的空间里,它必须是”简单”的。试想可以把一个柿子看作一个流形,但某天它发霉了,长了一根毛(看作一条线),就不能看作流形了。因为考虑这个柿子长毛的那个微小区域,无法用一个chart描述。
事实上,地球的经纬度就可以看作一个坐标系。可以看出,在纬度最高的地方(南北极),方向是无法定义的。这也是欧几里德空间对于流体的局限性。
另外必须指出,对于同一个流体,可以通过选取不同的图(或者说是投影)来定义不同的地图集。
同在欧几里德空间里一样,流形也是有维度的,这个维度在局部里定义。如果流形的图是n维的,那么这个图被称为n维流形。比如球面的任意一个细小的局部是一个2维平面,那么球面就是一个2维流形。
从以上例子也可以看出,流形的维度同它在欧几里德空间的个体(3维)比较是下降了。直观来看,因为在曲面上的运动本来就也只有两个自由度。通常对于笛卡儿坐标系的曲面,可以找到对应的低维度流形坐标,这个过程叫做参数化(Parameterization)。
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