Lasso回归分析如何处理共线性问题？

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在进行线性回归分析时，很容易出现自变量共线性问题，通常情况下VIF值大于10说明严重共线，VIF大于5则说明有共线性问题；当出现共线性问题时，可能导致回归系数的符号与实际情况完全相反，本应该显著的自变量不显著，本不显著的自变量却呈现出显著性；共线性问题会导致数据研究出来严重偏差甚至完全相反的结论，因而需要解决此问题。

针对共线性问题的解决方案上，可以有以下几种处理方法：

如果是使用逐步回归解决多重共线性问题，其为‘技巧式’处理，其让算法自动找出显著的X，通常情况下，此种做法会避开共线性的变量，实质上其并没有直面共线性问题，只是很可能避开了共线性而已，在实际研究中使用较多；除此之外，Lasso回归和Lasso回归是直观共线性问题的两种处理方式，Lasso回归和lasso回归在于对损失函数进行改造，但此两种方法的具体损失函数改造上，Lasso回归是使用L2正则化，Lasso回归是使用L1正则化。相对来讲，Lasso回归用于解决共线性问题的时候较多，Lasso回归除了有解决共线性问题的功能外，其还可用于进行‘特征筛选’，即找出有意义的自变量X（特征项），一般在机器学习领域使用此功能较多。

除此之外，主成分分析是利用降维的思想去解释共线性问题，比如有10个X，其利用降维原理将10个X降维成比如3个主成分，然后后续再进行分析比如线性回归（此种做法称作主成分回归）。而PLS回归是同时利用主成分和回归混合在一起的处理方式，一般用于非常小的样本（比如小于100的样本时），经济领域中使用主成分相对较多，但在其它领域中可能使用PLS回归相对较多。

类似于Ridge Regression，Lasso回归的分析时也分为两个步骤：分别是结合轨迹图寻找最佳K值；输入K值进行回归建模。

第一步：Lasso回归分析前需要结合轨迹图确认K值；K值的选择原则是各个自变量的标准化回归系数趋于稳定时的最小K值。K值越小则偏差越小，K值为0时则为普通线性OLS回归；SPSSAU提供K值智能建议，也可通过主观识别判断选择K值；

第二步：对于K值，其越小越好，通常建议小于1；确定好K值后，即可主动输入K值，得出Lasso回归模型估计。

SPSSAU操作截图如下：

如果输入框中不输入值，此时SPSSAU默认是生成轨迹图，即识别最佳K值（当然SPSSAU会智能化建议最佳K值）；如果输入K值，此时SPSSAU则输出Lasso回归模型结果。

Lasso回归分析案例

1 背景

现测得胎儿身高、头围、体重和胎儿受精周龄数据，希望建立胎儿身高、头围、体重去和胎儿受精周龄间的回归模型。根据医学常识情况（同时结合普通线性最小二乘法OLS回归测量），发现三个自变量之间有着很强的共线性，VIF值高于200；因为很明显的可知，胎儿身高、体重之间肯定有着很强的正相关关系。因而此类数据有着很强的共线性，不能使用常见的最小二乘法OLS回归分析。可使用Lasso回归模型处理共线性问题。

2 理论

Lasso回归分析（Lasso Regression）是一种用于解决线性回归分析中自变量共线性的研究算法。针对Lasso回归：其研究步骤共为2步,分别是结合轨迹图寻找最佳K值；输入K值进行回归建模。

第一步：Lasso回归分析前需要结合轨迹图确认K值；K值的选择原则是各个自变量的标准化回归系数趋于稳定时的最小K值。K值越小则偏差越小，K值为0时则为普通线性OLS回归；SPSSAU提供K值智能建议，也可通过主观识别判断选择K值；

第二步：对于K值，其越小越好，通常建议小于1；确定好K值后，即可主动输入K值，得出Lasso回归模型估计。

对于Lasso回归研究，如果不输入K值，此时SPSSAU默认是生成轨迹图，即识别最佳K值（当然SPSSAU会智能化建议最佳K值）；如果输入K值，此时SPSSAU则输出Lasso回归模型结果。

3 操作

使用SPSSAU进行Lasso回归研究时：首先不输入K值，则得到轨迹图用于判断最佳K值（SPSSAU也会智能建议最佳K值）；得到最佳K值后，输入具体值，最终SPSSAU会输出模型结果。本案例时SPSSAU建议K值为0.3。

4 SPSSAU输出结果

轨迹图描述不同K值时，自变量进行Lasso回归时标准化回归系数的变化情况。如果说标准化回归系数趋于稳定，此时对应的最小K值，即为最佳K值。此过程的判断带有一定的主观性，比如上图中，K值看上去选择为0.3，也或者0.4均可。建议以更小的K值作为标准；同时，可直接使用SPSSAU提供的建议最佳K值。

本案例中SPSSAU建议最佳K值为0.01，因而重新进行分析时输入0.3，得到最终Lasso回归模型结果如下表：

5 文字分析

具体文字分析例子如下：

本次研究胎儿身高、头围、体重对于胎儿受精周龄数据的影响；使用线性回归分析时发现VIF值出现大于200，即存在着严重的共线性问题。因而使用性能更好的Lasso回归模型进行研究。Lasso回归模型研究共分为两步，第一步是通过轨迹图识别最佳K值；第二步是利用确定好的最佳K值进行建立模型，得到最终模型。使用SPSSAU进行研究时，SPSSAU建议使用最佳K值为0.3，而且对比轨迹图判断可知，K值从0.3逐步增大时，自变量的标准化回归系数趋于稳定，因而最终K值取为0.3，最终得到Lasso回归模型。

将身长(cm), 头围(cm), 体重(g)作为自变量，而将胎儿受精周龄作为因变量进行Ridge回归分析，K值取为0.3，模型R平方值为0.859，意味着身长(cm), 头围(cm), 体重(g)可以解释胎儿受精周龄的85.9%变化原因。对模型进行F检验时发现模型通过F检验(F (3,7)=14.263, p =0.002<0.05)，也即说明身长(cm), 头围(cm), 体重(g)中至少一项会对胎儿受精周龄产生影响关系。

模型公式为：胎儿受精周龄=13.481 + 0.091*身长(cm) + 0.000*头围(cm) + 0.006*体重(g)。身长(cm)的回归系数值为0.091(t=3.148，p=0.016<0.05)，意味着身长(cm)会对胎儿受精周龄产生显著的正向影响关系。头围(cm)的回归系数值为0.000(t=0.000，p=1.000>0.05)，意味着头围(cm)并不会对胎儿受精周龄产生影响关系。体重(g)的回归系数值为0.006(t=5.035，p=0.002<0.01)，意味着体重(g)会对胎儿受精周龄产生显著的正向影响关系。总结分析可知：身长(cm), 体重(g)会对胎儿受精周龄产生显著的正向影响关系。但是头围(cm)并不会对胎儿受精周龄产生影响关系。

总结分析可知：身长(cm), 体重(g)会对胎儿受精周龄产生显著的正向影响关系。但是头围(cm)并不会对胎儿受精周龄产生影响关系。

6 剖析

Lasso回归分析需要特别注意两点，分别是共线性判断和分析步骤。

① 是否呈现出共线性，一定需要有理有据，比如VIF值过高，也或者自变量之间的相关关系过高（比如大于0.6）；如果数据并没有共线性，依旧建议使用普通线性最小二乘法回归。

② Lasso回归建模共分为两步，分别是寻找最佳K值和建模。轨迹图中，如果过了某点时趋于稳定，则该点对应的K值为最佳K值，以及K值是越小越好。

7 疑难解惑

① F 值括号里面的两个值分别是什么?

如果是F 值想计算得到p 值，需要提供两个自由度值df 1和df 2。一般情况下，df 1等于自变量数量；df 2等于样本量 – （自变量数量+1）。此两个值仅为中间过程值，规范格式上需要写成这样而已，无其它实际意义。

② 智能分析每次都提示k值为0.99？

SPSSAU提供的智能分析是一种建议性质，它会结合交叉对比算法自动提供一个建议；实际研究中，lasso回归K值的判断带有较强的主观性质，因而研究者可结合岭迹图选择合适的K值。同时可将SPSSAU提供的建议K值，与主观判断得到的K值分别进行分析，然后对比各项指标（比如R方值）进行使用即可。

③ lasso回归分析前是否需要对数据进行标准化处理？

lasso回归时，可先对数据进行标准化处理（数据处理->生成变量功能），然后再进行lasso回归分析，当然也可以直接针对标准化回归系数进行分析即可，SPSSAU默认有输出标准化回归系数。

④ Lasso回归与岭回归如何选择？

Lasso回归和岭回归时，它们均可以解决共线性问题，但一般使用岭回归相对较多，正常情况下二者去解决共线性回归时结论应该保持一致。与此同时，lasso回归可用于‘特征筛选’，但岭回归并无此功能。Lasso回归和岭回归在数学原理上的区别为损失函数的不同，lasso回归使用L1正则化，岭回归使用L2正则化。

本案例数据参考资料：

张文彤,董伟.SPSS统计分析高级教程[M]. 第2版. 北京:高等教育出版社, 2015.04: 130-132．