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工程问题上,研究连续函数的性质是十分重要的。它可以帮我们在一个可以接受的范围内,给出高次方程的近似解。所以让我们来研究它吧!我尽量图解来提高阅读体验。
既然都说了是研究闭区间上连续函数的性质,那以下性质一定离不开这两个条件了:闭区间 和连续函数
一.最值定理(了解)
内容:若函数F(x)在闭区间[a,b]上连续,则F(x)在[a,b]上一定能取得最大最小值
思考:为什么要闭区间 和连续函数这两个条件?
我们分开讨论一下吧!
1.为什么要非得闭区间这个条件不可?
那好我改成开区间,会怎样呢?
假如是开区间,像如图这种情况就取不到最小值了!
2.为什么要非得要连续函数这个条件不可?
我举个例子你就懂了
看~像这种在一定区间有间断点的函数(不连续),就没最大小值。
二.零点定理(重要)
内容:函数F(x)在闭区间[a,b]上连续,且F(a)*F(b)<0,则至少存在一点δ∈(a,b),使得f(δ)=0。
为什么说至少存在一点δ∈(a,b),使得f(δ)=0呢?
画个图就很清晰了。
由图可以看出它是可以存在多个零点的,所以说它至少存在一点δ∈(a,b),使得f(δ)=0。
应用:二分法求解高次方程的近似解(一个无限逼近正确解的过程)。
5次及5次以上方程没有根式解(阿贝尔证明过),在工程问题上一般用二分法求解方程的近似解。
三.介值定理(由零点定理基础上推导而来)
内容:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)不等于f(b),则在f(a)与f(b)之间的任意一个常数C,至少存在一点δ∈(a,b),使得f(δ)=C。
如图表达:
为什么说介值定理是由零点定理基础上推导而来呢?
我们来利用零点定理一遍:
我们构造一个辅助函数F(x)=f(x)-C
为什么这么构造?
我给个图,直观感受这个变化:
这就可以把它转成能用零点定理处理的函数了。
由f(x)在[a,b]上连续,且C在f(a)与f(b)之间,则F(x)在[a,b]上连续,F(a)*F(b)<0
用F(x)=f(x)-C做一下替换就得:[f(a)-c]*[f(b)-c]<0.由零点定理可知,至少存在一点δ∈(a,b),使得F(δ)=0,f(δ)-C=0,即f(δ)=C。
好了,谢谢大家的认真阅读[笑]
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