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一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列.
从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如:n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:mⁿ种)
二、排列.
1. ⑴对排列定义的理解.
定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
⑵相同排列.
如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同.
⑶排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号An的m次方表示.
⑷排列数公式:
注意:n·n!=(n+1)!-n! 规定0! = 1
规定
2. 含有可重元素的排列问题.
对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a1,a2,……an其中限重复
数为n1、n2……nk,且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于
例如:已知数字3、2、2,求其排列个数n=(1+2)!/1!2!=3又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数n=3!/3!=1
三、组合.
1. ⑴组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
⑵组合数公式:
⑶两个公式:
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.
(或者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球,任取m个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有
一类是不含红球的选法有Cn的m次方)
②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,所以有Cn的(m-1)次方,如果不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有cn的m次方种,依分类原理有Cn的(m-1)次方+Cn的m次方=C(n+1)的m次方.
⑷排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.
⑸①几个常用组合数公式
②常用的证明组合等式方法例.
i. 裂项求和法. 如:1/2!+2/3!+3/4!+…+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!(利用(n-1)/n!=1/(n-1)!-1/n!)
ii. 导数法.
iii. 数学归纳法.
iv. 倒序求和法.
v. 递推法(即用Cn的m次方+Cn的m-1次方=C(n+1)的m次方递推)如:
vi. 构造二项式. 如:
证明:这里构造二项式(x+1)ⁿ(1+x)ⁿ=(1+x)²ⁿ其中xⁿ的系数,左边为
而右边为C₂n的n次方
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型:
①直接法. ②排除法.
③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n个不同元素排成一列,要求其中某m(m≤n)个元素必相邻的排列有A(n-m+1)的(n-m+1)次方·Am的m次方个.其中A(n-m+1)的(n-m+1)次方是一个“整体排列”,而Am的m次方则是“局部排列”.
又例如①有n个不同座位,A、B两个不能相邻,则有排列法种数为An的平方-A(n-1)的1次方·A₂².
②有n件不同商品,若其中A、B排在一起有A(n-1)的(n-1)次方·A₂².
③有n件不同商品,若其中有二件要排在一起有An的平方·A(n-1)的(n-1)次方.
注:①③区别在于①是确定的座位,有A₂²种;而③的商品地位相同,是从n件不同商品任取的2个,有不确定性.
④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如:n个元素全排列,其中m个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?A(n-m)的(n-m)次方(插空法),当n – m+1≥m, 即m≤(n+1)/2时有意义.
⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n个元素进行全排列有An的n次方种,m(m<n)个元素的全排列有Am的m次方种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,共有An的n次方/Am的m次方种排列方法.
例如:n个元素全排列,其中m个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?
解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m!;解法二:(比例分配法)An的n次方/Am的m次方.
⑦平均法:若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有
例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有C4的平方/2!=3(平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少?
注意:分组与插空综合. 例如:n个元素全排列,其中某m个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有
,当n – m+1 ≥m, 即m≤(n+1)/2时有意义.
⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.
例如:x₁+x₂+x₃+x4的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x₁,x₂,x₃,x4显然x₁+x₂+x₃+x4=12,故(x₁,x₂,x₃,x4)是方程的一组解.反之,方程的任何一组解y₁,y₂,y₃,y4,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数c11的3次方
⑨定位问题:从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,并且都排在某r个指定位置则有
例如:从n个不同元素中,每次取出m个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?
固定在某一位置上:A(n-1)的(m-1)次方;不在某一位置上:An的m次方-A(n-1)的(m-1)次方或A(m-1)的1次方+A(m-1)的1次方乘A(n-1)的(m-1)次方(一类是不取出特殊元素a,有A(n-1)的m次方,一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的)
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合),规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略,排列
;组合
ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略,排列
;组合
iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略,排列
;组合
II. 排列组合常见解题策略:
①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;
⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为
(其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组均匀分组应再除以
例:10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,其分法种数为
.若分成六组,各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为
②非均匀编号分组: n个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种数为
例:10人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:
种.
若从10人中选9人分成三组,人数分别为2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有
种
③均匀编号分组:n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为
例:10人分成三组,人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为
④非均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为
…
例:10人分成三组,每组人数分别为2、3、5,其分法种数为
若从10人中选出6人分成三组,各组人数分别为1、2、3,其分法种数为
五、二项式定理.
1. ⑴二项式定理:
展开式具有以下特点:
① 项数:共有n+1项;
② 系数:依次为组合数
③ 每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕排列,b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项.
(a+b)ⁿ展开式中的第r+1项为:
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
I. 当n是偶数时,中间项是第n/2+1项,它的二项式系数
最大;
II. 当n是奇数时,中间项为两项,即第(n+1)/2项和第(n+1)/2+1
项,它们的二项式系数
最大.
③系数和:
附:一般来说(ax+by)ⁿ(a,b为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当|a|≠1或|b|≠1时,一般采用解不等式组
的系数或系数的绝对值)的办法来求解.
⑷如何来求(a+b+c)ⁿ展开式中含
的系数呢?其中p,q,r∈N且p+q+r=n把(a+b+c)ⁿ=[(a+b)+c]ⁿ视为二项式,先找出含有C的e次方的项
,另一方面在(a+b)的(n-r)次方中含有b的q次方的项为
,故在(a+b+c)ⁿ中含
的项为
.其系数为
2. 近似计算的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式(1+a)ⁿ≈1+na,因为这时展开式的后面部分Cn²a²+Cn³a³+…+Cnⁿaⁿ很小,可以忽略不计。类似地,有(1-a)ⁿ≈1-na但使用这两个公式时应注意a的条件,以及对计算精确度的要求.
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