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同学们好,我是李状元数学课的李老师,讲人人都听得懂的高中数学课。
上节课我们讲了求函数零点的几种方法,这节课我们来看一下二分法。
不过在此之前,我们先来看零点存在性定理。这个定理可以说是二分法的依据。
它是这样说的:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
这里面有几个要点,首先图象要连续不断,然后区间两端的函数值异号。其实结合图像我们很容易直观地理解:区间两端的函数值异号,也就是函数图像的两端的点一个在x轴上方,一个在x轴下方。那么如果图像连续不断,就意味着图像必然要穿过x轴,至少要穿过一次,所以函数在这个区间里就有至少一个零点。
理解了零点存在性定理,我们就可以用它来判断零点位于的区间,方法就是二分法。
用二分法求方程f(x)=0近似解的一般步骤:
第一步:确定一个区间[a0,b0],使得f(a0)·f(b0)<0.
第二步:取区间(a0,b0)的中点x0=½(a0+b0).
第三步:计算f(x0)的值,得到下列相关结论.
(1)若f(x0)=0,则x0就是方程f(x)=0的一个根,计算终止;
(2)若f(a0)·f(x0)<0,则方程f(x)=0的一个根位于区间(a0,x0)中,令a1=a0,b1=x0;
(3)若f(x0)·f(b0)<0,则方程f(x)=0的一个根位于区间(x0,b0)中,令a1=x0,b1=b0.
第四步:取区间(a1,b1)的中点x1=½(a1+b1),重复第二、第三步,……直到第n次,方程f(x)=0的一个根总在区间(an,bn)中.
第五步:当|an-bn|<ε,(ε是规定的精确度)时,区间(an,bn)内的任何一个值就是方程f(x)=0的一个近似根.
不过要注意,二分法只适用于求函数f(x)的变号零点.如果像二次函数的图像和x轴相切,只有一个零点并且零点两侧不变号的情况,用二分法就求不到了。
关于二分法的原理和用法,大家明白了吗?下课!
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