很多人对机械波的能量感到困惑,为什么处于平衡位置的媒质的质元的弹性势能反而是最大的?为什么质元的动能与势能同步变化?
当然,你可能会根据一些特例来帮助理解这些问题。例如,抖动一根水平绳产生横波时,你注意到那些位于平衡的位置,因为两边受到的拉力指向相反方向,所以形变是最厉害的;而处在最高或最低点的那些位置,两边受到的力指向同一方向,虽然具有最大的加速度,但本身的形变却为零。所以势能最大的位置应该在平衡位置。
如果用力抖动一根软弹簧形成横波,那么会看到平衡位置处,弹簧形变最明显,而最低和最高点几乎还是原样,如下图所示。
至于动能,你也容易想到一个屡试不爽的规律:平衡位置的加速度为零,速度必然最大,所以动能就是最大。
如此一来,动能和势能同步达到最大,当然也会同步达到最小,所以它们同步变化的规律就坐实了。
但若要较真,机械波的能量的规律到底该怎么得到呢?那你还得用一点数学。下面较详细的给出一个推理分析的过程。
考虑一根长为 的弹簧被拉伸了 ,它的弹性势能是多少?
学过高中物理的你,当然知道是下面这样的
其中 为倔强系数。如果弹簧的材料和粗细确定,更长的弹簧,倔强系数更小,这个应该很好理解,弹簧越长,拉起来当然就没那么费力了。 按此规律,可将倔强系数写成 其中 是一个常数,取决于弹簧的粗细和材料性质。
那么上面的势能可以写成 这里故意拼凑了一个新变量—— ,即相对伸长量。由于 是常量,所以,对某个弹簧(材料、粗细和原长确定),其储存的势能由它的相对伸长量决定。
如果弹簧是被压缩的,只不过 ,能量表达式也是一样的。
总之,弹簧的相对形变量 决定它的势能!
那么,对一段长为 的媒质,它所储存的势能也是类似的:取决于它的相对形变量。
你可能认为,这段媒质的中心的偏移量会产生势能,这其实是一种错觉。媒质中各点的绝对偏移量并不一定会形成弹性势能!
想象你手里拿着的一把尺子,假设它现在整体移动一段距离,很显然,整个尺子的重力势能的确变了,但始终没有形变,所以也没有弹性势能!但显然,尺子上各点不是发生了偏移吗?!
所以,从根本上说,只有当内部各点的位移不同,导致各点之间发生相对位移,也就是物质产生了形变时,才会形成弹性势能。
很显然,机械波的媒质就是最好的代表的呀!
对机械波来说,波函数的变量 是描述媒质中点的偏移量的。它是位置 和时间 的函数,换句话说,同时刻不同点的偏移量不一致呀!所以自然会导致各点之间发生相对位移,也就是波的媒质发生形变,这就能导致弹性势能啦!
那么,媒质中的势能随位置变化的规律是怎样的呢?
考虑某个确定的时刻 ,波表现为一条曲线——波形曲线。
它描绘媒质中各点偏移量 随坐标 的变化情况,用函数表示为
当位置 产生 的增量时,偏移量 也产生一个增量 。
现在分析媒质中一段原长为 的质元。
形变前,它的两端坐标分别是 和 。
形变后,两端点的纵向偏移量分别是 和 。左端坐标变为 + ,而右端坐标变为 + + + 。
因此,形变后的媒质的长度是 + ,绝对伸长量为 ,故相对原长 的相对形变——相对伸长量为
按照前面讲的相对伸长量决定势能的规律,这段原长为 的质元现储存的势能为
如果将右侧的 移到左边相除,则得到的是该段介质内的平均势能密度 ,故 仿照平均速度到瞬时速度的过渡方式——将时间 得到任意时刻的速度,现在考虑无限小的一段介质,上式中的 ,无穷小量变成微分量,用 代替 ,则得介质中任意点的势能密度为
看到了吧!两个微分相除导致微商,这样就得到导数了。
实际上,考虑任意时刻的情形, 是 和 的函数 ,故应用偏导符号 代替 重写为 这下好了!谁的导数?偏移量 对质元坐标 的偏导数,也就是质元的偏移量对坐标的变化率!这不就是波形曲线上某一点切线的斜率吗?
所以,媒质中质元的势能取决于波形曲线上的切线的斜率,斜率绝对值越大,势能越大,绝对值越小,势能就越小。
很显然,波形曲线上,平衡位置处的斜率绝对值最大啊!所以这个位置的势能最大!什么地方斜率为零?当然就是波峰和波谷处,所以这些位置的势能为零!
实际上,根据正弦和余弦之间互为导数的关系,更一般的规律可从上图看出。
上面的推导是按照纵波来进行的,如果是横波,物质会发生横向形变,计算稍微复杂一点,但最终的规律是一致的。
下面再进一步来看机械波能量的表达式。
首先是势能部分。
由上面的分析可知,要得到势能的确切的表达式,就要确定式中的 的值,它反映这段媒质的倔强系数除了长度之外的其它影响。那么,这些所谓“其它影响”有哪些呢?
材料的弹性?对!确切的叫弹性模量。还有呢?这段媒质的粗细?肯定越粗越难对付吧?没错!
弹性模量这个东西,是针对固体来说的,对液体来说,也有相应的那个量。总之,就是物体本身的弹性性质。
假设弹性模量用 表示,媒质的粗细,也就是它的底面积用 表示,则得 据此,上面的势能 可表示为 这其中, 正好就是媒质的体积 ;而一般来说,弹性模量 与波速 的关系为 其中 是密度,根据 ,上面的势能可写成 如果考察一个段媒质的微元,则上式为 将波函数 对 的偏导代入,即得势能的表达式为 再看动能部分。
这段介质 在振动,所以具有动能。动能很简单,直接按动能的表达式,即
其中 是媒质的振动速度——注意,媒质并没有随着波运动!所以这里的 不是波速,而是媒质偏移的速度——振动速度,按照速度的定义就是 得到动能为
这才发现,质元的动能和势能随位置和时间的变化规律竟然完全一样,用更物理的语言说,它俩是同幅同相变化的,对确定点,二者的值每时刻都完全一致!
机械波的能量是动能与势能之和,那么自然的,质元 的机械能为 即 可化为 这下彻底看清楚了,能量与坐标和时间相关的部分 具有简谐波的标准形式。因此,机械波的能量本身也形成一个简谐波,它的频率是波的频率的两倍。对简谐波来说,能量的传播速度就是波本身的速度,即相速度 。
既然简谐波的能量随时间周期变化,说明简谐波的媒质的质元的能量并不守恒,这一点与简谐振动不同。很多人觉得这一点违反直觉。他们认为:简谐波的媒质的质元不都在做简谐振动吗?既然如此,质元的能量应该是守恒的呀!?
问题的症结在于,简谐波的质元并不是做简谐振动,因为相邻的质元之间有力的作用,所以质元做的是受迫振动而非简谐振动。
当波前刚抵达某个质元时,它还处于平衡位置,此时质元的能量是最大的。在一个波峰或波谷抵达某质元的过程中,它的能量沿波的传播方向流出——因为它需要策动它的邻居跟着一起动起来;当波峰或波谷到达质元后,它又重新开始吸收来自波源方向传入的能量,再次回到平衡位置。如此反复,能量沿着波线方向不断向前传播。
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来源:物含妙理
编辑:阿泊
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