无穷大到底有多大？

无穷无尽的太空

古希腊哲学家芝诺在公元前五世纪提出了阿基里斯悖论：

让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米……

这是人类思考和探索无穷概念的努力，而且这种努力也一直存在于数学之中。

在数学里，提起无穷的概念，我想大家都有些印象，尤其是在学习极限与微积分的知识之后。无穷概念对于学习和理解现代数学十分重要，然而对于无穷这个概念为什么会被引进到数学中，却很少人知道。本文就带大家一起回顾一下无穷概念的起源。

对于自然数，很早就被人类发明出来，知道这个序列可以不断往后数。给定一个自然数，我们总能找到一个比它还大的自然数。那么是否存在最大的自然数呢？由于数学源于现实世界，是对现实世界的数量的抽象，所以人们其实想知道的是在现实世界中是否存在最大数量的物体。

人们不断寻找大数，在古代有人认为全国的麦粒数量就是一个很大的数，可能也是物理世界中的最大数。不过后来有人提出，整个地球的沙粒才是最大的数。再后来越来越大的数在物理世界中被发现，比如宇宙的星球数量、细胞的数量、原子的数量等等。到今天为止，我们也无法知道物理世界中存在的最大数是什么，或者说是否存在最大的数。对于我们认为不可数或许无法数的物体数量，就简单归结为无限多或无穷大。

然而数学并不关心现实物理世界中的最大数是什么，只在乎在数学抽象世界中的逻辑。在计数系统发明之后，尤其是阿拉伯数字的出现之后，对于书写大数不能存在任何问题，比如，对于一个拥有101位数字的大数，利用科学计数法，我们可以很方便地近似记为一个0到10之间的小数乘以10的10次方。然而在逻辑方面却遇到一些问题：因为谁都无法证明存在或不存在无穷大的数。

我们知道，在自然数出现之后，随后出现了整数、小数/分数、无理数以及实数，实数之后又出现了对应的虚数。众所周知，诸如整数、小数/分数、无理数以及实数等等都是有无穷多个，从直觉上，应该是整数比自然数多，分数比整数多，实数比分数多。然而事实上果真如此吗？这就引出了数的一个核心逻辑问题，如何证明实数的个数要比自然数多呢？

在当时已有的数学公理与定理无法解决这个问题，数学遇到一个逻辑完备性的困境。面对这个逻辑的窟窿，德国数学家康托尔于十九世纪末创立了集合论，重新奠定了数的基础，让人们以新的方式看待和理解无穷的概念。康托尔提出一个基本问题：能否将自然数集合与实数集合一一对应起来？如果能，那么实数与自然数个数是相等的，而且是可数的。

康托尔证明了不存在这种一一对应，同时也证明了实数的不可数。他的结论有四点：

1. 一切代数数是可数的；
2. 任何有限线段上的实数是不可数的；
3. 超越数是不可数的；
4. 一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量（基数）上的区别。

尤其在第四点中，明确表明虽然自然数与实数都存在无穷多个，但存在数量上的区别，可以比较它们的大小。同时康托尔确实也证明了自然数的个数要远小于实数，这点与我们的直觉是相符的。

自从集合论产生之后，人们对无穷的概念有了全新的认识，也明确了有限、无限、可数与不可数之间的关系。虽然康托尔提出的集合论并非十分完备，但奠定了整个集合论的基础。后面许多数学家基于这个基础，继续完善和深化集合论，并公理化了集合论，让其更加接近逻辑的完备性。

正如大卫·希尔伯特在他的1926年《论无穷》的讲演中所说的那样：“没有任何问题象无穷那样深深地触动人的情感，很少别的观念能象无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它概念能象无穷那样需要加以阐明”。

所以对于数学的无穷概念，我们应该从集合的角度，而不是去凭直觉简单地去想象一个无穷大或无穷小的数，因为根本不存在这样的数。