初步了解一下浮点数

写一篇逻辑严密的文章，涉及到的东西太多，实在很困难，所以某些方面就不深究下去，仅做一个知识点的粗浅归纳。

关于浮点数

IEEE754标准规定：

浮点数的构成：1位符号位+N位阶码+M位尾数（原码表示）

单精度浮点数：1位符号位，8位阶码，23位尾数，共32位，占4个字节

双精度浮点数：1位符号位，11位阶码，52位尾数，共64位，占8个字节

长双精度浮点数：1位符号位，15位阶码，64位尾数，共80位，占10个字节

其中，阶码是由原码加上移码构成，所谓移码（exponential bias），值为2^(N-1)-1，如单精度时，移码为2^7-1=128

NaN表示not a number : 当阶码全为1，尾数不全为0，此时为NaN；这里又涉及到 quiet NaN和signaling NaN；如果尾数的首位是1，那么就是quiet NaN；如果尾数的首位是0，其余尾数有不为0，那么就是signaling NaN。这是 大多数处理器，包括Intel与AMD的x86系列、Motorola68000系列、AIMPowerPC系列、ARM系列、SunSPARC系列，采取的标准。这个标准被IEEE754采纳。

而 PA-RISC与MIPS处理器，采取了首位为’is_signaling’标记位，恰与上述标准相反。

那么，什么是quiet NaN和signaling NaN？

意思是：

当一个操作导致一个安静的NaN，没有指示任何异常，直到程序检查结果并看到一个NaN。也就是说，如果在软件中实现浮点，计算将继续进行，而没有来自浮点单元（FPU）或库的任何信号。信号NaN将产生一个信号，通常以FPU的例外形式。是否抛出异常取决于FPU的状态。

以上介绍了浮点数的NaN的定义，下面介绍+Inf和-Inf的定义。

+Inf，即正无穷大：当符号位是0，阶码全为1，尾数全是0，此时为正无穷大；

-Inf，即负无穷大：当符号位是1，阶码全为1，尾数全是0，此时为负无穷大；

所以对于64位的双精度浮点数：

NaN 为：0xFFF00ULL

+Inf为：0x7FF0000000000000ULL

-Inf为：0xFFF0000000000000ULL

下面继续问：

单精度，双精度，能表示的最小的小数是多少？我如果知道了每种精度能表示的最小的小数，那么就会很清楚的去选择正确的精度类型。

已知：float，单精度浮点数，1位符号位，8位阶码，23位尾数。

既然尾数有23位，那么能表示的最小的小数对应着23位尾数中，只有最后一位是1，其余全是0

即0.0000,0000,0000,0000,0000,001B ，这个二进制对应的小数是2^(-23)，即0.000000119D

那么0.00000012D对应的二进制是多少呢？因为0.000000119D对应的二进制是0.0000,0000,0000,0000,0000,001B，这已经是最小的二进制数，当二进制增加1时，即

0.0000,0000,0000,0000,0000,010B，对应的小数已经是0.000000228D

而，0.00000012D介于0.000000119D和0.000000228D之间，所以0.00000012D的二进制仍旧是0.0000,0000,0000,0000,0000,001B

意思就是：小数点后第8位并不是有效位；那么小数点后第7位呢？

0.0000,0000,0000,0000,0000,001对应的十进制是0.0000001，

0.0000,0000,0000,0000,0000,010对应的十进制是0.0000002，

所以，float的有效位就是小数点后7位。

以上是从二进制的形式来分析数的有效位；

下面如果面对的是十进制数

比如：0.D，与0.D，这两个数，如果声明类型为float，那么这两个数是不是相等的？

首先，要对十进制数进行归一化为1.xxxxx的形式；

如果遇到整数部分不是1的，那么就会浮动小数点，得到1.00000111和1.00000112

当然小数点浮动了，阶码也改变了。这样得到的两个小数，他们的小数部分就是7位有效位。

所以1.00000111就是1.0000011；而1.00000112也是1.0000011，所以说0.，与0.是相等的。

那么0.000000f 和 0.000000f这两个数是不是相等的？

从表面看，虽然他们已经在小数点后14位才不一样，似乎他们应该是相等的。但其实，他们并不相等。因为虽然前面有那么多的0，但是这是浮点数，它会移动小数点，以达到最精简的表达这个数，归一化后为1.f和1.f，此时他们的小数点后是7为数字，不同的位置在第7位，所以计算机可以区分出这两个数是不同的，所以0.000000f 和 0.000000f这两个数是不相等的。

float x11=3.00000012f 和 float x22=3.00000010f这两个数是否相等？

答案是：

不相等。

虽然表明上看，这两个数的小数部分的前7位都是一样的，整数部分也一样，似乎应该是相等的。

x11=3.00000012f的小数部分明显大于2^(-23)，也就是说尾数的第23位是1；x22=3.00000010f的小数部分明显小于2^(-23)，也就是说尾数的第23位是0；

但是，他们的整数部分是3，即二进制11，归一化后的尾数的第1位被3的二进制的第0位的1占据。

这样，x11的归一化之前的尾数的第23位就被划在了归一化后的尾数的范围之外。也就是说x11和x22在归一化后，他们的尾数都是一样的了。可是为什么结果还是不相等呢？

原因在于x11归一化后，虽然尾数的第23位是0了，但是它的第24位是1，这个1等于了float的

机器ε（machine epsilon）的一半，所以不能舍去，于是向尾数的第23位进1，于是尾数的第23位并不是0，而是1。

至于什么是 机器ε， 机器ε是指最小的尾数，即尾数的第23位是1时的值。

如果上面的理解是正确的，那么如果我将x22的值，归一化之前的小数部分的尾数的第22位设置为1，这样当将整数部分的3归一化后，22位上的1变成了23位上的1，这样x22就与x11一样了。下面验证一下，是不是一样。

当22位上是1时，那么值就是2^（-22），即0.000000238，于是我程序比较

float x11=3.00000012f 和 float x22=3.00000024f; 这两个数是不是相等。如果相等，证明我的理解是正确的。

说明我的猜测是正确的。

几个例子

float x11=3.00000011f 和 float x22=3.00000012f是不相等的；

float x11=3.00000011f 和 float x22=3.00000010f是相等的；

请问，float x11=100.00000022f和float x22=100.00000011f是否相等。

100，划分为二进制是，归一化后，它的归入了尾数中，导致归一化之前的尾数中的第22,23位都被分离了出去，原来的位17变成了现在的位23，并且原来的位18也是0，即现在的位24是0，所以24位及其后面的都被舍去。即x11和x22是相同的。

也就是说：当一个浮点数，整数部分的值很大时，这会占据小数部分的有效位。

另外，也可以这样理解：

x11=100.00000022f，归一化就是1.00 00000022f ;

x22=100.00000011f，归一化就是1.00 00000011f；

从小数部分数7位，发现以上都是一样的，所以x11和x22是相等的；

这就是规律。

即：先把数归一化，得到首尾是1的数，再判断它的小数部分，7位有效位，同时判断第8位的值是否超过机器ε的一半。若有，则有进位。否则，舍去。

对于double，双精度浮点数：

1位符号位，11位阶码，52位尾数，共64位。

那么它的机器ε就是：2^(-52)，即0.000000000000000222

即双精度浮点数的有效位是小数点后16位。

下面，实际的计算一下，3.1415这个浮点数当类型是双精度时，在内存中的表示。

3换算为二进制就是11

0.1415换算为二进制就是0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,1101{0…}

所以3.1415的二进制表示就是：

11. 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,1101{0…}

归一化为：

1.1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,1101{0…}

因为归一化了，将整数部分的1划入了尾数，所以此时尾数是：

1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,110{10…}

第53位是1，进1，得到：

1.1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,111

尾数换算为16进制就是：921CAC083126F

阶码的原码是1，即2^1，因为这个是双精度浮点数，可知它的移码是2^(11-1)-1，即：

十进制数1023，换算为16进制数是3FF，加上阶1，得到400

所以3.1415，用双精度表示就是：

0 {11-1111-1111} {1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,111}

从后往前，4bit一组，构成16进制，表示为：

0xCAC083126F

下面，用软件来验证3.1415的双精度浮点数，在内存中的值是不是 0xCAC083126F

unsigned long long a=0x0;

double b=3.1415;

a=*((unsigned long long *)(&b));

意思是：取得变量b的地址，将这个地址的类型转换为unsigned long long *，然后取得这个地址的内容，送给a

debug中断，查看&b的值是0x0012FEA8, 从这个地址开始的8个字节的内存值是：

我的电脑是Intel处理器，数据在内存中是以小尾形式保存的，即数据的高字节保存在内存的高地址处；数据的低字节保存在内存的低地址处。

因此，从地址0x0012FEA8开始的8个字节，组成的数据是0xCAC083126F