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21 岁的本科生，推动了几十年悬而未决的数学难题。他就是麻省理工学院（MIT）数学系的 Ashwin Sah，其用手中的笔和草纸，助力拉姆齐数（Ramsey number）问题的解决，而该问题这是组合数学（Combinatorics）领域最重要的问题之一。

“Ashwin 解决的难题是数学组合学的核心问题。Ashwin 之所以能解出，是因为他发现了一些新的数学方法，而每一次突破成果的出现，都意味着新的数学工具即将诞生”，Ashwin 的导师 ——MIT 数学系华裔助理教授、斯隆奖和 Dénes König 奖得主赵宇飞告诉 DeepTech。

图 | Ashwin Sah

什么是拉姆齐数？

拉姆齐数主要用于表示完全的无序是不可能的，即一个集合的元素数量达到特定临界点后，肯定会出现预先定义的某种性质或结构。

以拉姆齐数的经典案例鸽笼原理为例，10 只鸽子放进 9 个鸽笼，那么一定有一个鸽笼放进了至少两只鸽子。

图 | 鸽笼原理（来源：维基百科）

同样的案例还有，要保证一群人中一定有两个人的生日是同一天，那么至少需要 367 个人。其他例子还有，6 个人中必有 3 个人相互认识或相互不认识；一群人里面一定有两个人的生日是同一天等。想要的团规模越大，计算出精确的拉姆齐数就会越困难。

20 世纪 30 年代，Paul Erdős 和 George Szekeres 两位数学家曾研究过拉姆齐数的上下界，此后至今该问题一直让数学界 “一筹莫展”。

匈牙利数学家 Erdős Pál 曾这样描述寻找拉姆齐数的难度：“想像有队外星人军队在地球降落，要求取得 R (5,5) 的值，否则便会毁灭地球。在这个情况，我们应该集中所有电脑和数学家尝试去找这个数值。若它们要求的是 R (6,6) 的值，我们可能要尝试毁灭这队外星人了。”

而在 2020 年 5 月，Ashwin 通过优化 Erdős 和 Szekeres 的方法，拓宽了拉姆齐数的研究边界。其文章主要内容是，如果有六个顶点，它们互相通过边来连接，此外还有 15 条边着色，我们可以将每条边涂成红色或蓝色。但是不管怎么着色，总会有三个顶点之间以同色边相连，这种现象被称作团（clique），而假设是 5 个顶点，情况就会发生变化。基于此，两种颜色、且团的规模为 3 的拉姆齐数为 6，也就是说要保证团的存在，至少得有 6 个顶点。他的文章证明，一旦图达到特定大小，就必然包含具备对应规模的团。

多位学者认为，Ashwin 的证明是当前条件下，能达到的最佳结果。此前曾研究出该问题的最佳上限的加州理工学院数学教授 David Conlon 表示，他将这一方法推向逻辑极限，并认为虽然是本科生，但他完成的工作足以使他获得一份教职。

图 | Ashwin Sah 的文章

谈起首次注意到 Ashwin，赵宇飞向 DeepTech 回忆称，Ashwin 读大一时，赵宇飞在 MIT 教授研究生级别的数学组合课。当时还是大一新生 Ashwin 跑来听他的课，赵宇飞感到很惊讶，同时也担心 Ashwin 可能还没准备好。但通过课后交流，发现 Ashwin 都能听懂。除了上赵宇飞的课，他还参加数学组合学的研讨课。

图 | 赵宇飞（来源：受访者）

在四万多名选手中斩获银奖

Ashwin 本人较为深刻的童年经历，是妈妈叫她学算数，这位出生于美国俄勒冈州的 00 后，曾于 16 岁时斩获国际数学奥林匹克竞赛（IMO）金牌，18 岁时他又获得首届阿里巴巴全球数学竞赛的银奖，全球四万多名参赛者，仅有 20 名选手获得金银铜奖。

图 | 11 岁时在做题的 Ashwin

习惯用博客记录学生进步的赵宇飞曾这样写道：“Ashwin 已经有大量的论文清单”，同时 “我很高兴 Ashwin 将留在 MIT 攻读博士学位。”

与此同时，赵宇飞还推动了 Ashwin 和他的另一名学生 Mehtaab Sawhney 的合作。

图 | Ashwin 和 Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney 是 Ashwin 的小伙伴。Mehtaab 也参加了赵宇飞的研究生组合学课程，因此他俩特别熟，经常一起上课和讨论。

赵宇飞发现后，跟他们谈话说：“你们俩（既然）对于组合学都很感兴趣，那么可以尝试一起研究课题”。而他俩的正式合作也从这里开始，合作过数十篇论文，并解出很多赵宇飞一直想解的课题，对此他评价称：“本科生研究传统由来已久，但不管是数量还是质量，无人能及 Sah 和 Mehtaab。”

而基于此前合作成果，Ashwin 和 Mehtaab Sawhney 于今秋获得由美国数学学会（AMS）、美国数学协会（MAA）和工业与应用数学学会（SIAM）共同评定 2021 摩根奖（Morgan Prize），该奖项主要授予表现出色的美国、加拿大或墨西哥的数学专业大学生，奖金为 1000 美元。而赵宇飞作为导师，其价值之一便是获悉学生背景后，帮他们找到合适课题。

数学生的“无知者无畏”

赵宇飞的很多学生和 Ashwin 一样，对组合数学领域有着浓厚兴趣，其中包括 MIT 华人学生姚远、张盛桐和馀鸿勋，他们都是国际奥数竞赛金牌得主。目前，姚远和张盛桐已经加入赵宇飞的科研团队，并与 MIT 博士后姜子麟、博士生 Jonathon Tidor 一起利用图论方法，解决了几何学中长期未解决的等角线问题。其中，馀鸿勋在赵宇飞的指导下，对离散几何课题（Joints Problem）做出重大突破，并延伸了多项式这一前沿数学方法。

数学是特别容易出年轻天才的领域，而被评为 MIT 优秀导师的赵宇飞表示，在跟学生相处时，他经常受到鼓舞启发。因为一个从未见过太多数学方法的学生，一定程度上的 “无知者无畏”，反而能想出看起来很奇怪、但其实非常新的方法。有时学生做出的结果，连数学专家都未必能想出来。

不过他认为，学数学天赋和积累都重要，数学需要很强的功底，而不管做什么研究，都是辛苦且漫长的过程，一个数学课题有时整整一月都毫无进展，因此即便有天赋的学生也会半途而废，但再坚持一下，可能就会在某天突然想到新方法。

赵宇飞认为，学习数学最重要的是思想方法，而不是机械性地解固定题目。所谓数学不是给个公式就去算题，数学是一种分析型的创造性学科，像 Ashwin 做出来的结果，是他自己阅读很多论文后，发现这是他的兴趣点，然后才投入时间去研究。

在 MIT 工作的赵宇飞，经常接触到能力很强的中国留学生，他很愿意指导中国留学生，并希望他们能更主动地找他探讨问题。他认为，中国的教育机制让学生们打下了扎实基础，但很多学生只是被动地期待导师来布置课题，而非积极探索热爱的方向，这样或许可以取得一些短期成绩，但不利于取得重大进展。

Ashwin 的成果，离不开赵宇飞的指导，未来在教学方面他会把多年研究成果，整理成研究生组合学课程的教学材料，并把教学视频放在 MIT 公开课网站上。他还希望能把这一课程写成一本书，从而给更多从事数学研究的学生创造一个接触组合数学的窗口。

提到数学毕业生的出路，赵宇飞表示，数学出身的人当然可以做含数学在内的学科研究，比如去做计算机、经济学、运筹学，数学教给他们的思想方法在很多学科都管用。如果不想留在学术界，他们可以去金融公司或者科技公司，这些公司都很重视数学好的学生。